浅谈初中阶段的函数关系

罗文宏

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2015）15-0040-01

1.一次函数

（1）一次函数。如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数。

特别地，当b=0时，一次函数y=kx+b成为y=kx（k是常数，k≠0），这时，y叫做x的正比例函数。

（2）一次函数的图像。一次函数y=kx+b的图像是一条经过（0，b）点和（，0）点的直线。

特别地，正比例函数图像是一条经过原点的直线。需要说明的是，在平面直角坐标系中，“直线”并不等价于“一次函数y=kx+b（k≠0）的图像”，因为还有直线y=m（此时k=0）和直线x=n（此时k不存在），它们不是一次函数图像。

（3）一次函数的性质。当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。 直线y=kx+b与y轴的交点坐标为（0，b），与x轴的交点坐标为（）。

（4）用函数观点看方程（组）与不等式。①任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0），当y=0时，求相应的自变量的值，从图像上看，相当于已知直线y=kx+b，确定它与x轴交点的横坐标。②二元一次方程组对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等，以及这两个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点的坐标。③任何一元一次不等式都可以转化ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，解一元一次不等式可以看做：当一次函数值大于0或小于0时，求自变量相应的取值范围。

2.反比例函数

（1）反比例函数 如果k是常数，k≠0，那么y叫做x的反比例函数。

（2）反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线。

（3）反比例函数的性质。①当k>0时，图像的两个分支分别在第一、三象限内，在各自的象限内，y随x的增大而减小。②当k<0时，图像的两个分支分别在第二、四象限内，在各自的象限内，y随x的增大而增大。③反比例函数图像关于直线y=€眡对称，关于原点对称。

（4）k的两种求法

①若点（x0，y0）在双曲线 上，则k=x0y0。

②k的几何意义： 若双曲线上任一点A（x，y），AB⊥x轴于B，则S△AOB 的面积就是K值。

（5）正比例函数和反比例函数的交点问题

若正比例函数y=k1x（k1≠0），反比例函数 y=（x≠0，k2≠0），则当k1k2<0时，两函数图像无交点； 当k1k2>0时，两函数图像有两个交点。由此可知，正反比例函数的图像若有交点，两交点一定关于原点对称。

3.二次函数

（1）如果y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数，几种特殊的二次函数：y=ax2（a≠0）；y=ax2+c（ac≠0）；y=ax2+bx（ab≠0）；y=a（x-h）2（a≠0）。

（2）二次函数的图像。二次函数y=ax2+bx+c的图像是对称轴平行于y轴的一条抛物线。 由y=ax2（a≠0）的图像，通过平移可得到y=a（x-h）2+k（a≠0）的图像。

（3）二次函数的性质。二次函数y=ax2+bx+c的性质对应在它的图像上，有如下性质：

抛物线y=ax2+bx+c的顶点是 ，对称轴是直线 ，顶点必在对称轴上；

若a>0，抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，因此，对于抛物线上的任意一点（x，y），当x< 时，y随x的增大而减小；当x> 时，y随x的增大而增大；当x= ，y有最小值； 若a<0，抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，因此，对于抛物线上的任意一点（x，y），当x<，y随x的增大而增大；当x>时，y随x的增大而减小；当x=时，y有最大值；

抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点为（0，c）；

在二次函数y=ax2+bx+c中，令y=0可得到抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的情况： 当△=b2-4ac>0，抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的公共点，它们的坐标分别是（，0）和（，0），这两点的距离为；当△=b2-4ac=0时，抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点，即为此抛物线的顶点 ；当△=b2-4ac<0时，抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点。

抛物线的平移 抛物线y=a（x-h）2+k与y=ax2形状相同，位置不同。把抛物线y=ax2向上（下）、向左（右）平移，可以得到抛物线y=a（x-h）2+k。平移的方向、距离要根据h、k的值来决定。

（责任编辑 全 玲）