巧妙“变”化在数学中的应用

广东省韶关市浈江区曲仁中学 蔺 勇

数学不同于其它学科，“灵活多变”是数学的最大特点，而变化最主要体现在变解法和变题目，这两方面运用得当，对于老师的教学和学生的学习都有积极的促进作用，能达到举一反三的效果。结合教学实践，本文从这两方面入手，谈谈巧妙变化在数学中的应用。

一、巧变题目解法

常规教学乃至高考，都特别强调“通法通解”，不可否认，这种方法是应用基础知识的体现，比较实用，相对容易理解。然而，“通法通解”有其自身的局限性，尤其像高考这种大型考试，有些题目用此方法难以解决，就算能解决，也会耗费大量的时间，运算量之大超乎想象。如何找到捷径，能省时省力，这就需要老师们在平时的教学中注重变化。巧妙的变化可使问题迎刃而解，达到事半功倍的效果，而这种方法的使用，必须注重对公式的变形应用。

例1、（2011年山东高考题）已知动直线l与椭圆C：交于P(x1,y1)Q(x2,y2)两不同点，且ΔOPQ的面积其中O为坐标原点。

（Ⅰ）证明：均为定值；（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求的最大值；（Ⅲ）椭圆C上是否存在三点D,E,G，使得？若存在，判断ΔDEG的形状；若不存在，请说明理由。

该题结构简洁、通俗易懂、形式优美、内涵深刻，是一道十分优美的高考解几题。其标准答案给出的解法是通法，但运算量极其大，而且没有体现出该题的“内在美”，相反的让人望而生畏。下面来看该题的一种优美解法：

解：（Ⅰ）因为P(x1,y1)Q(x2,y2)，所以

又所以

又由柯西不等式得

所以

当且仅当 时，等号成立。

因为点P(x1,y1)Q(x2,y2)在椭圆C：上，所以从而由均值不等式得

当且仅当时，等号成立。

由①、②得即不等式②的等号成立，于是由不等式②的等号成立的条件得，故均为定值。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知所以

所以，所以，当且仅当时，等号成立。故的最大值为。

（Ⅲ）假设椭圆C上是否存在三点，使得成立，则由（Ⅰ）知：所以又为不同的三点，所以在x3，x4，x5中，只能有两个相等另一个为其相反数，不妨设 x3=x4，x5=-x4，则由椭圆的对称性知D，O，G或E，O，G三点共线，这与矛盾。故椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G。

上述优美解法的获得正是从三角形面积公式的变形开始，途中既没有联立方程组的繁琐运算，又避免了分类讨论。特别是这种解法不仅揭示了该题的本质结构特征及其“内在美”，而且也充分体现了用代数手段去研究几何图形性质的方法的多样性，令人拍手称绝。

变形是简解、巧解、妙解、美解的助推器，是培养学生创新意识与能力的重要载体。一个适当的变形，就可生长出巧解、妙解，省时省力，何乐而不为呢！

二、巧变题目（变式训练）

变式训练对培养学生发散思维有极大的帮助，是学生创新思维的必备前提，也是一种良好的学习品质。变式训练重点在于对某个问题进行多层次、多角度、多方位的探索，恰当与否的变式训练，在教学中起着至关重要的作用。

变式训练中应该体现以下特征：

1、设计变式训练首先应该能够体现数学的层递性

例1、如图∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=100°求X的度数。

变式：已知三角形ABC的∠B和∠C的平分线B E、C M相交于点M。求证：（1）∠B M C=1 8 0°-（∠ABC+∠ACB）

（2）∠BMC=90°+ ∠A

改变为变式训练的题目，改变∠BAC的度数，求∠BMC和∠BAC的关系。

对已知题目进行了大胆的组合和拓广，由易到难，由数字到字母。其已知条件和结论体现数学有数向代数的转变，而这恰恰是学生应掌握的重点和难点。此题不仅锻炼了学生用类比的方法去思考和学习，而且促进学生对解决问题的思路理解得更为透彻。每问每一变都体现层层递进，步步深入，环环相扣的密切联系。

2、变式训练设计应能够体现知识的规律性和关联性，便于学生思考问题时思路的发展

例2、求函数的单调区间和值域。

分析：（1）关于形如的单调性与函数u=f(x)(f(x)〉0)复合函数的单调性，当a〉1时相同，当0〈a〈1时相反，即同增异减。

（2）关于复合函数单调性的研究，既是高考的热点，又是学生的弱点，因而是我们学习的重点。处理这类问题应把握好以下三点：①抓住中间变量的变化状态；②掌握复合函数的单调性规律；③注意复合函数的定义域。

3、变式训练应该能够体现命题的前瞻性，尽量贴近高考

例3、（2012辽宁理）已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10。

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和。

解析：（Ⅰ）an=2-n，解法从略；

（Ⅱ）设数列的前n项和为Sn。由（Ⅰ）知，an=2-n，所以

令，则整理，得即，比较两边的系数，得，解得A=-2，B=0，从而所以

一般结论：若{an｝是公差为d(d≠0)的等差数列，{bn｝是公比为q(q≠1)的等比数列，则数列的前n项的和：

变式训练：已知求数列｛an｝的前n项的和Sn。

解析：令则整理，得，比较两边的系数，得

解 得从 而所 以

通过对这个题目的解答，可以让学生充分体会灵活多变，尝试通过题目，总结题目和思路，真正学会解决问题。所以在平时的教学中设计一题多变应贴近高考题型，及早着手培养学生有良好的思考习惯和思维品质。

变中有不变，变中求同，相信通过巧妙变化的教学设计，既能促进学生的提高，更能促进教师的提高。