压缩感知理论在信息整合信号重构上的应用

林斌

摘 要 传统的香农采样定理决定了最终采样得到的数据非常庞大，这给数据实时化传输带来了挑战。压缩感知理论的指出可以用远少于信号长度的测量值，通过重构算法来近似重构原始信号。本文主要探讨了压缩感知理论的三大步骤以及其在各领域中的应用。

关键词 采样定理；压缩感知；信号稀疏；测量矩阵；重构算法

中图分类号TP3 文献标识码 A 文章编号 1674-6708（2015）138-0083-01

早期，香农奈奎斯特（Shannon Nyquist）采样理论是用于不失真地恢复信号。香农理论指出至少以信号最大频率的2倍频率进行采样才能保证精确恢复原始信号。由香农理论得到的采样数据将会是十分的庞大，将会造成很大的数据传输成本。有学者提出是否可以在采集数据的时候只采集重要的数据，即获取采集数据的同时进行压缩和采样。压缩感知理论提供了解决办法。

1 压缩感知

压缩感知（Compressed Sensing，CS）采样理论[1-2]于2006年由Cand?s、Tao、Donoho等人提出。CS理论指出：一个信号若是可稀疏或可压缩的，可以通过测量矩阵对该信号进行“感知测量”得到采样数据，最后通过重构算法采样信号进行重构，就可以近似地恢复原来的信号。下面开始介绍CS理论的三大步骤：信号稀疏、测量矩阵和信号重构。

1.1 信号稀疏

利用信号的稀疏性是CS理论应用的一个前提条件。假设有一信号为一维信号，将信号在一组正交变换基上展开得到：

（1）

其中：是信号的稀疏系数。从公式（1）可以理解为信号的稀疏化。一般，现实中的信号都可以找到一组正交变换基用来展开。假如此时只有个非零值（），则可以认为信号是稀疏或可压缩的。在某些场合，前个数据对信号而言是相对重要的，后个数据是可以忽略的，在传输的时候是可以抛

弃的。

1.2 测量矩阵

在CS采样理论中，测量矩阵的作用是用于数据采样，是CS理论中感知测量数据中关键的一步。测量矩阵设计的好坏将会直接影响到后续数据重构的精度。

假设信号，利用一组测量矩阵（其中）对信号进行采样，从而得到的个采样数据。

整个采样过程是一个降维过程，其可以用公式（2）

描述：

（2）

因为最终得到的采样数据的维度，且不受信号带宽影响，所以相对于传统香农采样理论而言，其采样得到的数据容量要小的多。

测量矩阵必须满足有限等距性质（Restricted Isometry Property，RIP），即公式（2）中对于任意k稀疏信号和常数，测量矩阵满足[3]：

（3）

目前，测量矩阵主要有：确定性和随机性测量矩阵。确定性测量矩阵有Toepltiz和循环矩阵；随机性矩阵主要有高斯、贝努利矩阵等等。

1.3 信号重构

由于，公式（2）是一个欠定方程组，无法求出其具体解，如何求出具体解将是CS理论需要解决的问题。在满足RIP条件下，可以利用范数优化方法求解的近似解或逼近解，即通过式（4）求解：

（4）

另外也可用使用范数代替范数，以解决式（4）存在的NP-hard问题：

（5）

CS重构算法的好坏决定了信号恢复的精度。目前主要的重构算法有正交匹配追踪OMP算法、匹配追逐MP算法和基追踪BP算法等等。

2 压缩感知应用

CS理论自诞生以来，在光学、医学和生物学等领域得到了蓬勃发展。CS理论具有采集数据小，同时具有很好保密性，近年来在军事领域引起了关注。下面将介绍CS理论在不同领域中的应用。

1）光学领域。

单像素相机是CS理论应用于光学的一个很好的例子。其工作原理是：通过光敏二极管电极两端的电压变换记录采集得到数据微镜装置（Digital Micromirror Device，DMD）阵列反射的测量值，然后经过模数转换，当采集一定数量的数据之后，经过重构算法恢复得到原始图像。

2）医学领域。

在医学领域，CS理论主要是用于核磁共振（Magnetic Resonance Imaging，MRI）成像领域。CS理论的应用可以在减少仪器测量时间的同时保证数据恢复精度并减少仪器对病人身体带来的伤害。随着计算机的处理速度大大加快，采用CS理论进行MRI成像，甚至可以达到实时成像。

3）物联网。

当今，我们社会步入了物联网时代，无线传感网络是其中关键的技术支撑。无线传感器本身具有工作环境特殊，容易受到高温、风沙、地震等等恶劣环境的影响，将容易导致数据丢失。CS理论将很好的解决数据丢失问题，这会是以后人们研究的一大热点。

4）军事领域。

目前信息化已经渗透到军事领域，军事战争对信息的实时性传输性提出了很高的要求。反映战场形式最直观的数据是各种语音、图像等数据，但它们过于庞大，对实时传输造成了巨大的影响。而CS理论的提出将解决此类问题，一方面可以达到减少数据冗余，实现实时传输，另一方面也具有很好的保密性。

3 总结

本文介绍了压缩感知的理论框架，探讨了CS理论中三个关键步骤：信号稀疏、测量矩阵、信号重构。文章最后介绍了CS理论的实际应用的情况，作为一门新生的理论，在信号处理各领域中注入了新生的血液，给广大研究者提供了广阔的研究前景。

参考文献

[1]David L.Donoho， Compressed sensing[J]. IEEE Transaction on Information Theory， 2006， 52（4）：1289-1306

[2]CANDES E. Compressive Sampling[A].Proceedings of the International Congress of Mathemati-cians[C]//Madrid，Panin，2006.33-1452.

[3] E.Candès， T.Tao. Decoding by linear programming[J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2005，51（12）：4203-4215.