例谈小学“百分数”错题的诊断与对策

周礼

“百分数”这个单元的教学内容在六年级数学上册教材中有着举足轻重的作用，这部分内容既是学生对数的概念的拓展与延伸，又是学生进一步联系生活实际和数学知识的桥梁. 离开了生活世界，百分数就成了无水之源，无本之木. 然而学生在解决实际问题时经常会遭遇知识的陷阱，本文将列举学生解题中部分“常见病”，分析病因，探索诊疗方法，以增强学生的“自我防疫”能力.

【病症】 A.

【诊断】 在部分学生眼里，降价10%和涨价10%正好可以相互抵消，也就意味着这种商品还是按原价出售. 其实在这里 两个10%对应的单位“1”是不同的. 降价是的10%是把原价看作单位“1”；而后来又涨价的10%是以降价后的价格作为单位“1”.

这种商品的价格没有直接告诉我们，不妨假设原价是1，那么降价后的价格是1 × （1 - 10%） = 1 × 90% = 0.9，后来又涨价10%，现在的价格是0.9 × （1 + 10%） = 0.9 × 110% = 0.99，0.99 < 1，很显然，现在的价格低于原价. 正确选择应该是B.

【错例4】 判断：张师傅做了100个零件，合格率是95%. 如果他再做5个零件，而且经过检验都合格，则合格率就上升为100%. ………………………（ ）

【病症】 √

【诊断】 小学生在处理信息时，容易受表面现象的影响，凭借已有知识的惯性作用，凭借直觉经验而不经过逻辑思考贸然判断，从而造成错误. 当合格零件的个数增加时，学生容易把问题简单化，认为增加了5个合格零件，合格率就相应地增加了5%，或者只考虑了合格零件的个数增加了，而没有考虑到零件总数也增加了.

合格率表示合格零件的个数占零件总数的百分之几. 张师傅先做的100个零件合格率是95%，合格零件的个数是95个，再做5个且均合格，这时合格的零件是100个，零件总数也随之发生变化，由原来的100个变成了105个，所以这时的合格率是100 ÷ 105 ≈95.2%.

针对这样的错误，教学中要让学生多了解并解释现实情景中百分率（如出勤率、近视率、收视率、覆盖率、命中率等）的含义，加深对求一个数是另一个数的百分之几方法的理解. 【错例5】 一个长方形花坛，长是20米，宽是10米. 经过改造，长增加了5米，宽增加了2米，面积增加了百分之几？

【病症】 （5 × 2） ÷ （20 × 10） = 5%.

【诊断】 学生在分析解决问题时，往往只停留于表象的概括水平上，对一些数学知识的形成和问题解决的思维过程没有深刻理解，题中的“长增加了5米，宽增加了2米”，误以为面积就会增加5 × 2 = 10（米）.

花坛面积增加了百分之几，是把原来的花坛面积看作单位“1”，求现在的面積比原来增加部分占原来的百分之几. 原来花坛的面积是20 × 10 = 200（平方米），改造后面积是（20 + 5） × （10 + 2） = 300（平方米），现在的面积比原来增加了300 - 200 = 100（平方米）增加的部分占原来的100 ÷ 200 = 50%.

波利亚认为：“教师对学生的帮助，应当是不多不少”，应当“不显眼的帮助学生”，“应当顺其自然”. 也就是说，因势利导地帮助学生. 所以，对待学生的错误，教师首先要重视错误思维的产生，挖出错误的原因；其次要剖析错误的思维过程，并作出调控和修正，进而引发学生的创新.