圆截面平行双导体传输线的电感

2015-07-05焦重庆李顺杰

电气电子教学学报 2015年3期

焦重庆，李顺杰

(华北电力大学电气与电子工程学院，北京102206)

0 引言

传输线理论是联系电路理论和电磁场理论的一个重要纽带。传输线的分布参数(单位长电感、电容、电阻、电导)是建立传输线模型所需的基本参数。电磁场理论在推导传输线的分布参数方面发挥着基础性作用。

一对平行的圆截面导线所组成的传输线是双导体传输线的经典例子。由于在导线内部和两根导线之间的区域均有磁力线穿过，因此单位长度电感包括了内电感和外电感两部分。高频时，由于趋肤效应，电流几乎都分布在导线表面很薄的一层区域内，磁力线几乎都被排出导线，因此内电感可以忽略。在低频时，电流几乎在导线内均匀分布。此时，如果两根导线之间的间距远大于每根导线的半径，则由于外电感远大于内电感，也可以忽略内电感。然而，如果两根导线之间的间距很近，内电感相对外电感的比重上升，其影响或许不能忽视。

对于内电感的计算，“电磁场”课程上一般讲解了两种结构:一是无限长的单根圆截面直导线，二是同轴电缆[1-3]。针对前者，得出了单位长度内电感为μ0/8π的结论(这里假设导线的磁导率为真空磁导率μ0)。当计算如图1所示的双导体传输线的电感时。一般将其看成两根无限长的单根圆截面直导线的内电感的和，即2×μ0/8π。然而，这样处理实际上忽略了两根导线之间的相互影响。图1中导线2产生的磁力线也会从导线1内部穿过，反之亦然。这部分磁力线对内电感也有贡献。

本文的目的是推导内电感的精确表达式。为了简化问题的复杂性，本文假设电流在导线内部是均匀分布的。因此，本文的推导是在静态场近似下得出的，其结论的适用范围局限在频率较低、趋肤效应可以忽略的情况。本文的推导可以作为“电磁场”课程内电感教学的一个扩展性的例题。

图1 圆截面平行双导体传输线示意图

1 磁场能量与电感

磁场能量Wm的计算有多种方法[1-4]。第一种是能量密度法式中，wm为磁场能量密度，V为磁场分布的所有空间。该方法需要先求磁场分布。

第二种方法是磁位—电流法，即

式中，A为矢量磁位，J为传导电流密度，V为电流分布的所有区域。

第三种方法就是通过磁链或电感与电流来表示磁场能量:

式中，ψ为磁链，L为电感，I为电流。

在本文中，方法三被“逆向”应用，即先通过方法二得出磁场能量，进而由磁场能量来得出电感。

2 理论模型

如图2所示，两根圆形横截面的平行导线，水平放置，半径分别为R1和R2，两根导线的中轴线之间的距离为2a。直角坐标系的原点O位于两根导线圆心连线的中点，其x轴水平向右，y轴竖直向上，z轴垂直纸面向外。导线1和2均带电流I，电流方向分别为-z和z方向。导线1内场点P到导线2中心线的距离记为ρp，到导线1的中心线的距离记为ρ1。导线2内场点Q到导线1中心线距离记为ρq，到导线2的中心线的距离记为ρ2。