传输线无畸变传输条件的教学方法

颜秋容

(华中科技大学电气与电子工程学院，湖北武汉430074)

0 引言

均匀传输线广泛出现在电能和信号传输系统中，是“电路理论”课程或“电磁场”课程的重要教学内容。在传输电能时，传输线传输的是单一频率正弦波，不存在畸变问题;而在传输信号时，信号通常是由多种频率正弦波构成的非正弦周期波形，传输时会出现波形畸变。为了避免畸变，必须依据无畸变传输条件对传输线参数进行合理选择。

在“电路理论”教材中，通常从直观理解上给出均匀传输线无畸变传输条件，对于电气工程专业学生，因电能传输不存在波形畸变问题，故对无畸变传输概念不太重视[1-2]。与信号传输相关专业的学生，通常在“电磁场”课程中遇到无畸变传输概念，“电磁场”课程从电磁波在媒质中传播的角度来讨论无畸变传输，即媒质的色散问题[3-4]，但媒质的传播特性与传输线的传播特性存在差异[5]，不能将媒质无色散直接对应于传输线无畸变。“信号与系统”课程中，利用傅里叶变换、从一般概念上给出网络无畸变传输条件，但从傅里叶级数、到傅里叶变换、再到网络无畸变传输条件的过程过于理论化，在均匀传输线教学时难以采用[6]。

本文利用傅里叶级数和网络函数的概念，导出线性时不变网络无畸变传输条件;将此条件应用到均匀传输线的稳态传输中，得到无畸变传输条件;并比较媒质无色散传输条件和传输线无畸变传输条件差异。将“信号与系统”、“电磁场”和“电路理论”的相关概念贯通，有利于学生深刻理解无畸变传输概念和传输线无畸变传输条件。

1 线性时不变网络无畸变传输条件

图1(a)所示线性时不变网络，输入信号为ui，输出信号为u0。考虑周期性稳态响应，当图1(b)所示的ui信号，通过网络传输，输出u0为图1(c)所示时，为无畸变稳态传输。图1(c)中的h和t0为常数。下面通过傅里叶级数来获得网络无畸变传输的条件。假设图1(b)所示波形的傅里叶级数为

其中ω0T=2π，则图1(c)所示波形的傅里叶级数为

图1 无畸变传输网络

线性时不变网络满足叠加原理，由k次谐波获得网络的传递函数为

上式写成一般表达式为

上式为网络无畸变传输条件，表明系统传递函数的幅度与频率无关，而相位是频率的线性函数。

2 传输线无畸变传输条件

在传输线末端不匹配时，末端阻抗可能产生有畸变的反射波。因此，应该在末端匹配条件下讨论传输线无畸变传输条件，如图2所示。

图2 终端匹配的均匀传输线

图中γ、Zc和l分别为传输线的传播常数、特性阻抗和长度，ZL为负载阻抗分别为始端、末端电压。

由传输线正弦稳态分析可得

传递函数为

上式中γ=α+jβ，该式写为

将上式和网络无畸变传输条件式(4)对照，传输线无畸变传输条件为

上式中第一式表明α与ω无关;式(8)第二式可写为β=(t0/l)ω，即β是ω的线性函数。综上所述，传输线无畸变传输条件为

上式中，c为不等于零的常数。

3 无畸变传输线的原始参数

式(9)是无畸变传输线传播常数要满足的条件。无畸变传输条件如何体现在原始参数上呢?传输线的原始参数用单位长度导线电阻、单位长度线间电导、单位长度回路电感、单位长度线间电容表示，则传播常数为[5]

由 dα/dω =0解得

将式(12)代入式(11)得

式(13)显然满足dβ/dω=c的条件。因此，原始参数满足式(12)的均匀传输线为无畸变传输线。将式(12)代入式(10)得

式(13)和(14)为无畸变均匀传输线的传播特性参数。

由以上推导可知，当 dα/dω=0满足时，dβ/dω=c一定满足。但单纯从dβ/dω=c不能获得无畸变传输的惟一条件。由此，传输线无畸变传输条件为 dα/dω =0。

4 无色散媒质与无畸变传输线

媒质空间中平面电磁波的传播特性参数为[5]

两式中:ε、μ和σ分别为媒质的介电常数、磁导率和电导率。要实现电磁波无畸变传输，对式(15)取 dα/dω =0，得 σ =0，将 σ =0代入式(16)得可见，平面波在(各向同性的线性)媒质中无畸变传输的条件为

上式表明，只有无损媒质(无色散媒质)才能实现无畸变传播。

对于均匀传输线，由以上分析不难得出:无损耗传输线(无损媒质中理想导体构成的传输线)一定是无畸变线。由式(12)可见，若媒质是无损的(G=0)，但导体是非理想的(R≠0)，传输线则不能满足无畸变条件。有损媒质和非理想导线配合才能实现传输线无畸变传输。表明媒质传播特性与传输线传播特性存在差异。

5 结语

本文将“信号与系统”、“电磁场”和“电路理论”等课程的无畸变传输概念贯通，利用傅里叶级数和传递函数的概念，通俗易懂地导出线性时不变网络无畸变稳态传输的一般性条件，由此一般性条件获得传输线无畸变稳态传输条件，并比较媒质无色散传输条件和传输线无畸变传输条件的差异。本文的研究，有利于深入理解无畸变传输概念和传输线无畸变传输条件。

[1]邱关源，罗先觉主编.电路，第四版[M].北京:高等教育出版社，1999.

[2]颜秋容，谭丹主编.电路理论[M].北京:电子工业出版社，2009.

[3]沈熙宁编著.电磁场与电磁波[M].北京:科学出版社，2006.

[4]Mathew N.O.sadiku.Elements of Electromagnetics[M].New York:Oxford University Press，2011.

[5]颜秋容.传输线场、路模型的一致性探讨[J].南京:电气电子教学学报，2014，36(4):4-7.

[6]郑君里，应启珩，杨为理编.信号与系统，第二版上册[M].北京:高等教育出版社，2000.