第十届亚太天文奥林匹克竞赛理论试题详解

2015-07-05□李昕

天文爱好者 2015年5期

□ 李昕

第十届亚太天文奥林匹克竞赛理论试题详解

□ 李昕

国际天文奥林匹克竞赛一向非常重视对学生天文基础知识和逻辑思维能力的考察。在去年的第十届亚太天文奥林匹克竞赛的理论环节中，不乏一些传统而又富有新意的好题。在这里，笔者与大家分享这些题目的重要解题思路，希望能对关注和即将参加天文奥赛的同学们有所帮助。

1.Babr的足迹

解析：理论环节的前4题，都与比赛地西伯利亚的一种大型猫科动物Babr有关。其实这种动物在100多年前就已经灭绝了，但直到今日，它依然是伊尔库茨克地区的标志。

第1题无论是高年组还是低年组的问题，其核心都是要考查学生对天文基本情景的理解。题目中要比较太阳黑子“Babr的足迹”和地球表面积的大小。我们都知道在太阳系中金星和地球大小非常接近，题中又给出了金星凌日的图，且与太阳黑子照片是等比例的，让我们想到可以直接比较这两者的大小。如果你的思路是这样，那就掉进陷阱了。从等比例的照片上看，凌日的金星和太阳黑子的大小相差无几，但两者到我们观测者的距离差距很大。我们要做的是通过金星照片计算太阳黑子的面积。

先用尺子测量照片中黑子的直径和金星的直径，黑子大约是金星的1.5倍，注意黑子的半影也要计算在内。黑子距离我们1au，金星距离我们0.28au，金星直径12100km，这些数据都可以从常数表上查到。计算得黑子直径LB=1.5×12100km×1au/0.28au≈65000km，则黑子面积SB=π/4×L≈3300000000km2。再计算地球的表面积SE=π×D≈π×（12800km）2≈510000000km2。SB/SE=6.5，因此太阳黑子面积是地球面积的6.5倍。

计算留下这样大小脚印的猫科动物质量时，大家可以凭自己的感觉做一些假设，并通过正确计算就能拿到满分。例如假设现实中的猫科动物足迹LC为4cm，质量mC大约是4kg，用这个数据和空间猫科动物的进行比较，但要注意，足迹的3次方与质量成正比。也就是(LB/LC)3=mB/mC，代入可算得mB≈1.7×1028kg，比木星1.9×1027kg的质量还大。

在解答本题时还要做一个假设，就是太阳黑子是在日面中心附近的位置，如果在日面边缘，那它的实际大小就没那么容易计算了。

高年组第2问是要计算黑子的视星等。我们已知太阳的视星等为-26.8m，表面温度TS为5800K。太阳黑子的温度TB大约为4500K，这个数值要尽量记住。视星等除了与温度有关还和表面积有关，黑子的面积在上一问中已经算得，在计算太阳的面积时要注意算的是一个圆面而不是半个球面。

2.LSVT和Babr

解析：本题的主体还是太阳黑子和Babr，但考查的知识点是望远镜的底片比例尺。第1问很简单，先计算太阳黑子的角直径：65000km/150000000km≈4.3×10-4rad（或1.5角分）。望远镜的焦距是4000cm，所以屏幕上的黑子大小为4000cm×4.3×10-4rad≈1.7cm。需要在答题本上画一个直径为1.7cm的太阳黑子Babr的足迹。

第2问是要计算从看清太阳黑子到看清距离5km的一只猫科动物，成像屏幕要移动多少距离。根据成像公式1/ L+1/x=1/F。对于黑子来说，物距L为无穷远，像距x=F，对于动物来说，物距La=5000m，像距xa=F•La/(La-F)。算得xax≈32cm，也就是说屏幕要向后移动32cm，请注意这个方向。

第3问是计算猫科动物在屏幕上像的大小，需要假设它的长度和高度，计算方法类似第1问。

第4问只要求高年组完成，其实也非常简单，就是计算LSVT的分辨本领。对于可见光波段来说，分辨率有近似公式δ=140/D（″），代入得到分辨率大约为0.2″。在5km远的地方大约对应5mm，因此分辨出一只长1m多的大型猫科动物没有问题。答案是“Yes”。

3.猎户的腰带

解析：本题看似非常简单，但对学生解题的规范和逻辑思维能力提出了很高的要求，因此满分的学生很少。

题目中问的是在比赛当天拍摄地平线附近的猎户座腰带什么时段最合适，是在升起、落下还是上中天时段。常数表中给出了猎户座天区的赤经和赤纬，猎户座腰带赤纬大约为0°，赤经大约为5h36m。利斯特沃扬卡的地理纬度也可查得。

题目中给了三个选择，同学们做题时就要逐个排除。首先看上中天时段。由于赤纬为0°，上中天的地平高度h=90°-φ=38°，明显已经距离地平线很远了，因此不合适。这一步分值为1分。

接下来计算腰带升起和下落的时间。天赤道上的天体升起时间为上中天时间前6小时，下落时间为上中天后6小时。腰带上中天的时刻为地方恒星时（S）5h36m，比赛当天（11月26日）与秋分相差65天。秋分日的地方平时与地方恒星时相等，因此11月26日地方恒星时与地方平时相差24h×65/365.2422=4h16m。可得腰带上中天的时刻为地方平时5h36m-4h16m=1h20m。猎户腰带升起时间为地方平时19h20m，落下时间为7h20m。相比之下，19h20m距离日落更久，而7h20m距离日出较近，因此腰带升起时拍照最合适。

最后我们再把时间换算成伊尔库茨克区时。已知利斯特沃扬卡所在时区为东八区，也就是东经120°标准时，而地理经度接近105°，区时和地方平时差1小时，因此猎户腰带升起时间为20h20m，在此之后的10分钟至半小时为拍摄它的最佳时段。别忘了在答案中写上证明可以拍摄的“Yes”，这也有1分的分值。

4.猎户腰带上的第四颗星

解析：企鹅观测者在Babr的相机前闪光，就好像在猎户腰带上增加了一颗星。猎户腰带3颗星的星等大约是1.8m左右。闪光的具体时长其实不重要，重点是它的亮度相当于相机曝光10s累积的亮度。题目中给出的已知条件是如果曝光距离是1m，相当于白天其他参数相同时曝光1/1000s的亮度。白天实际上就是视星等为-26.8m太阳的亮度。曝光时间1/1000s和10s相差10000倍，因此闪光亮度比太阳暗10000倍，1米的距离处视星等大约为-16.8m。

由于亮度和距离的平方成反比L∝1/r2，距离远10倍，亮度就暗100倍，也就是暗5个星等。可计算得若想视星等在1.8m左右，闪光距离大约是5km。

5.日食

解析：月球不断在远离地球，题中给出了平均速度为每年3.8cm。那么早晚有一天我们将无法欣赏到日全食这个壮观的天象。要想看到日全食，月球的视直径要大于等于太阳的视直径。因此最后一次日全食情况是月球位于近地点，地球位于远日点，也就是地月距离最近，而日地距离最远。我们根据日食的原理来画一张示意图作为解题的辅助，当然图中日、地、月的大小和距离都和实际比例相差甚远。我们用RM表示月球半径，用RS来表示太阳半径，LOM和LOS分别为观测者到月心和日心的距离。日全食的条件为：sin（RM/LOM）≥sin（RS/LOS）。由于角度很小，该式可化简为：RM/LOM≥RS/LOS。

其中RM和RS可以从常数表中直接查得，月球和地球公转轨道的偏心率也可以查到，分别为0.055和0.017，本题的关键是确定LOM和LOS。这时细心的同学可能会发现，最后一次观测日全食一定是在地球最靠近月球的地方，所以在计算这两个距离时，要减去一个地球的半径RE。

设地月平均距离为X，那么LOM=X（1-0.055）-RE，LOS=149600000×（1+0.017）-RE。RE可查表得到。于是我们可以求出唯一的未知量X为408600km。

设距离最后一次日全食的时间为T，就有X-384400km=3.8cm/year×T。

最终求得是6.36亿年之后我们就看不到日全食了，还好是很久以后。其实常数表中给出的日地距离是十万千米的量级，因此我们在计算LOS时其实不用考虑RE的影响，但计算LOM时肯定需要减去RE。

6.ISS在天顶

解析：本题高、低年组的问题难度还是有很大区别的。低年组比较容易。题目中给出了很多对解题没有用的信息，大家要学会筛选，把握关键条件。

查表可得利斯特沃扬卡的地理纬度φ=51°51′，且此地的地球半径RL=6365.4km，国际空间站的轨道倾角i=51.648°。这些是对低年组解题来说有用的条件。由于地理纬度高于ISS的轨道倾角，在利斯特沃扬卡是看不到ISS过天顶的，需要向南移动φ-i=12′7″。换算到地球表面上，至少要移动的距离就是L=12′7″×π/180°×RL=22.4km。

高年组的解题过程略复杂。首先要通过给出的ISS公转周期计算其轨道高度，通过下面两个公式：