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AM-凸函数及其Jensen型不等式

2015-07-04宋振云

关键词:凸性学报定理

宋振云

(湖北职业技术学院 机电工程学院,湖北 孝感 432000)

0 引言

在数学规划、控制论、最优化等非线性分析领域,凸性及其广义凸性所发挥的不可替代作用[1-3]已众所周知.随着其研究的深入,应用的广泛性被不断向外拓展,应用的价值也愈来愈明显.近年来,凸性及其广义凸性受到众多专家学者的关注,使得对凸性和广义凸性的研究成为热点,尤其是关于凸性和广义凸性的各类新的凸函数概念被不断提出,进而被进一步深入研究和广为应用,仅就实数区间上的二元幂平均所给出的凸函数,就有如几何凸函数[4]、调和凸函数[5]、平方凸函数[6]、对数凸函数[7]、AH-凸函数[8]、GA-凸函数[9]、GH-凸函数[10]、HA-凸函数[11]、HG-凸函数[12]等,又如rP-凸函数[13]、P-凸函数[14]、MG-凸函数[15]、GM-凸函数[16]等.

本文基于应用上对函数凸性的特殊要求,考虑对凸函数、对数凸函数、AH-凸函数的进一步推广问题,给出了AM-凸函数的定义,讨论了AM-凸函数的判定定理和相关性质,建立了AM-凸函数的Jensen型不等式.

定义1设I⊆(0,+∞),f(x)是I上的正值函数,如果 ∀x1,x2∈I及 ∀t∈[0,1],存在r∈R,使得

则称f(x)为I上的AM-凸(凹)函数.其中,当r>0 时,称f(x)为I上的AMr+-凸(凹)函数,当r<0 时,称f(x)为I上的AMr--凸(凹)函数.

注1当r=0 时,AM-凸(凹)函数即为对数凸(凹)函数,当r=1 时,AM-凸(凹)函数即为通常的凸(凹)函数,当r=-1时,AM-凸(凹)函数即为AH-凸(凹)函数.

1 关于AM-凸函数的判定

全文约定所有讨论只考虑r≠0 的情形,对r=0 时的相关讨论见文献[7].

定理1设I⊆(0,+∞),f(x)是I上的正值函数,则

(i)f(x)为I上的 AMr+-凸(凹)函数的充要条件是:∀x1,x2,x3∈I且x1<x2<x3,有

(ii)f(x)为I上的 AMr--凸(凹)函数的充要条件是:∀x1,x2,x3∈I且x1<x2<x3,有

证明只证(i),同理可证(ii).

若f(x)为I上的AMr+-凸函数,则

因为f(x)是I上的正值函数,r>0,所以,将上式整理即得

由于r>0 时,以上证明步步可逆,所以充分性成立.若f(x)在I上是AMr+-凹的,则上述证明中的不等号反向,因此定理1(i)的后半部分成立.

定理2设I⊆(0,+∞),f(x)是定义在I上的正值函数,则

(i)f(x)为I上的 AMr+—凸(凹)函数的充要条件是(f(x))r(r>0)为I上的凸(凹)函数;

(ii)f(x)为I上的 AMr--凸(凹)函数的充要条件是(f(x))r(r<0)为I上的凹(凸)函数.

证明只证(i),同理可证(ii).

设g(x)=(f(x))r(x∈I且r>0),如果g(x)=(f(x))r为I上的凸函数,注意到r>0,那么 ∀x1,x2∈I及∀t∈[0,1],则有

所以,f(x)为I上的AMr+-凸函数.

如果f(x)为I上的AMr+-凸函数,r>0,那么 ∀x1,x2∈I及 ∀t∈[0,1],则有

因此,g(x)=(f(x))r是I上的凸函数.

若f(x)在I上是AMr+-凹的,则上述证明中的不等号反向,所以定理2(i)的后半部分成立.

定理3设I⊆(0,+∞),f(x)是定义在I上的正值函数,则

(i)f(x)为I上的 AMr+-凸(凹)函数的充要条件是φ(t)=[f(tx1+(1-t)x2)]r(x1,x2∈I且r>0)为[0,1]上的凸(凹)函数;

(ii)f(x)为I上的 AMr--凸(凹)函数的充要条件是φ(t)=[f(tx1+(1-t)x2)]r(x1,x2∈I且r<0)为[0,1]上的凹(凸)函数.

证明只证(i),同理可证(ii).

充分性 因为φ(t)=[f(tx1+(1-t)x2)]r(t∈[0,1]),所以φ(0)=(f(x2))r,φ(1)=(f(x1))r,又φ(t)为 [0,1]上的凸函数,且r>0,所以,

故函数f(x)为I上的AMr+-凸函数.

必要性 ∀x1,x2∈I及 ∀t1,t2∈[0,1],有两个正数的幂平均的性质[17],有

令X1=t1x1+(1-t1)x2,X2=t2x1+(1-t2)x2,则 ∀α∈[0,1],亦有αX1+(1-α)X2∈I,若f(x)是I上的AMr+-凸函数,则 ∀t1,t2∈[0,1],∀α∈[0,1],并注意到r>0 即有

所以,函数φ(t)=(f(tx1+(1-t)x2))r(r>0)是[0,1]上的凸函数.若f(x)在I上是AMr+-凹的,则上述证明中的不等号反向,因此定理3(i)的后半部分成立.

定理4设I⊆(0,+∞),f(x)是定义在I上的正的二阶可导函数,则

(i)f(x)为I上的AMr+-凸(凹)函数的充要条件是:

(ii)f(x)是I上的AMr--凸(凹)函数的充要条件为:

证明只证(i),同理可证(ii).

求函数g(x)=(f(x))r在I上的一阶、二阶导数,得

因为f(x)在I上是正的,所以,g″(x)≥(≤)0 ⇔r[(r-1)(f′(x))2+f(x)f″(x)]≥(≤)0(x∈I),由定理2,f(x)为I上的AMr+-凸(凹)函数⇔g(x)=(f(x))r为I上的凸(凹)函数

定理5设I⊆(0,+∞),f(x)是定义在I上的可导正值函数,且f′(x)连续,则

(i)f(x)为I上的 AMr+-凸(凹)函数的充要条件是:

(ii)f(x)为I上的AMr--凸(凹)函数的充要条件是:

证明只证(i),同理可证(ii).对AM-凸函数定义中的权变量t∈[0,1],易证t=0,1 定理成立.下面证明t∈(0,1)时定理成立.

充分性 ∀x1,x2∈I,令x0=tx1+(1-t)x2(t∈(0,1)),则x0∈I,若不等式(5)成立,则

由于r>0,所以,f(tx1+(1-t)x2)≤[t(f(x1))r+(1-t)(f(x2))r]1r.

故,f(x)为I上的AMr+-凸函数.

必要性 设f(x)为I上的AMr+-凸函数,r>0,则 ∀x0,x∈I(x0≠x),∀t∈(0,1),有

求t→0+的极限,并注意到f′(x)的连续性,则得

同理可证定理5(i)的后半部分成立.

2 关于AM-凸函数的性质

定理6设I⊆(0,+∞),f(x)是定义在I上的正值函数,

(i)如果f(x)为I上严格递减的rP-凸函数,那么当 0<r≤1 时,f(x)为I上的 AMr+- 凸函数;当r<0时,f(x)为I上的AMr--凸函数;

(ii)如果f(x)为I上严格递增的rP-凸函数,那么当r≥1时,f(x)为I上的AMr+-凸函数;

(iii)如果f(x)为I上严格递增的rP-凹函数,那么当 0<r≤1时,f(x)为I上的 AMr+-凹函数;当r<0时,f(x)为I上的AMr--凹函数;

(iv)如果f(x)为I上严格递减的rP-凹函数,那么当r≥1时,f(x)为I上的AMr+-凹函数.

证明只证(i),同理可证(ii)(iii)(iv).

当 0<r≤1时,∀x1,x2∈I及 ∀t∈[0,1],由幂平均的单调性知因为f(x)为I上严格递减的rP-凸函数,所以

故f(x)为I上的AMr+-凸函数.

当r<0 时,由于,且f(x)是I上严格递减的rP-凸函数,所以

因此,f(x)为I上的AMr--凸函数.

定理7设I⊆(0,+∞),f(x)是定义在I上的正值函数,

(i)如果f(x)为I上的AMr--凸函数,那么是I上的 AMr+-凹函数;

(ii)如果f(x)为I上的AMr+-凹函数,那么是I上的AMr--凸函数.

证明只证(i),同理可证(ii).

由Cauchy不等式[18],∀x1,x2∈I及 ∀t∈[0,1],有

因为f(x)在I上是正的,所以,

注意到r<0,因此,

又f(x)是I上的AMr--凸函数,且f(x)>0,所以,∀x1,x2∈I及∀t∈[0,1],有

因而

定理8设I,D⊆R+,f:I→D,且f(I)=D,那么

(i)若y=f(x)为I上严格递增的AM-凸函数,则当 0<r≤1 时,其反函数y=f-1(x)为D上的 AMr+-凹函数;当r<0 时,其反函数y=f-1(x)为D上的AMr--凹函数;

(ii)若y=f(x)为I上严格递增的AM-凹函数,则当r≥1 时,其反函数y=f-1(x)为D上的AMr+-凸函数.

证明只证(i),同理可证(ii).

设f(x)是I上的严格递增函数,则f(x)在I上的反函数y=f-1(x)是D上的严格递增函数,∀y1,y2∈D,∃x1,x2∈I,使x1=f-1(y1),x2=f-1(y2),所以,y1=f(x1),y2=f(x2).

当 0<r≤1时,因为y=f(x)为I上的AM-凸函数,所以,

故y=f-1(x)是D上的 AMr+-凹函数.

当r<0 时,注意到,同理可证,定理8(i)的后半部分成立.

定理9设B⊆I⊆R+,A⊆R+,f:I→R+,μ:A→B,则

(i)若y=f(u)是I上严格递增的rP-凸函数,u=μ(x)是A上的AM-凸函数,则y=f(μ(x))是A上的AM-凸函数;

(ii)若y=f(u)是I上严格递减的rP-凸函数,u=μ(x)为A上的AM-凹函数,则y=f(μ(x))是A上的AM-凸函数;

(iii)若y=f(u)是I上严格递增的rP-凹函数,u=μ(x)为A上的AM-凹函数,则y=f(μ(x))是A上的AM-凹函数;

(iv)若y=f(u)是I上严格递减的rP-凹函数,u=μ(x)为A上的AM-凸函数,则y=f(μ(x))是A上的AM-凹函数.

证明只证(i),同理可证(ii)、(iii)、(iv).

任取x1,x2∈A,t∈[0,1],则,tx1+(1-t)x2∈A,

由定理条件知,μ(x1),μ(x2),μ(tx1+(1-t)x2)∈B⊆I,且∀r∈R(r≠0),亦有

因为u=μ(x)为A上的AM-凸函数,所以,,又y=f(u)是I上严格递增的rP-凸函数,所以

故函数y=f(μ(x))为A上的AM-凸函数.

定理10设B⊆I⊆R+,A⊆R+,f:I→R+,μ:A→B,则

(i)如果y=f(u)是I上严格递增的AM-凸函数,u=μ(x)是A上的凸函数,则y=f(μ(x))是A上的AM-凸函数;

(ii)如果y=f(u)是I上严格递减的AM-凸函数,u=μ(x)为A上的凹函数,则y=f(μ(x))是A上的AM-凸函数;

(iii)如果y=f(u)是I上严格递增的AM-凹函数,u=μ(x)为A上的凹函数,则y=f(μ(x))是A上的AM-凹函数;

(iv)如果y=f(u)是I上严格递减的AM-凹函数,u=μ(x)为A上的凸函数,则y=f(μ(x))是A上的AM-凹函数.

3 AM-凸函数的Jensen型不等式及其应用

定理11设I⊆(0,+∞),f(x)是定义在I上的AM-凸(凹)函数,则 ∀xi∈I,∀ti∈[0,1](i=1,2,…,n),且,有

证明若f(x)是I上的AMr+- 凸函数,令φ(x)=(f(x))r(x∈I),则当r>0 时,由定理2(i)知,φ(x)为I上的凸函数,因此有凸函数φ(x)在I上的Jensen型不等式

当r<0 时,同理可证定理仍然成立.

若f(x)在I上是AMr+-凹的,则证明中的不等号反向,所以定理11的后半部分成立.

关于定理11,它的一个等价形式为:

定理12设I⊆(0,+∞),f(x)为I上的AM-凸(凹)函数,∀xi∈I,∀qi∈R+(i=1,2,…,n),则

特别地,如果q1=q2=…=qn=1,则有

推论1设I⊆(0,+∞),f(x)为I上的AM-凸(凹)函数,∀xi∈I(i=1,2,…,n),则

例1设xi∈R+,ti∈[0,1](i=1,2,…,n),且,证明

证明考察函数f(x)=x(x>0),则 (r-1)(f′(x))2+f(x)f″(x)=r-1,

显然,当r≥1 时,(r-1)(f′(x))2+f(x)f″(x)≥0,由定理 4 知,函数f(x)=x(x> 0)是 AMr+-凸函数,将f(x)=x(x>0)代人定理11(8)式,得

由上述证明过程可知,当r≤1时,不等式(9)成立.

注2:在不等式(10)中,取r=0 即为著名的加权算术-几何平均不等式:

[1]HARDY G H,LITTLEWOOD J E,PÓLYA G.Inequalities[M].Lundon:Cambridge University Press,1952.

[2]MITRINOVIC D S,VASIC P M.Analytic inequalities[M].Berlin:Springer-Verlag,1970.

[3]王伯英.控制不等式基础[M].北京:北京师范大学出版社,1990.

[4]吴善和.几何凸函数与琴生型不等式[J].数学的实践与认识,2004,34(2):157-163.

[5]吴善和.调和凸函数与琴生型不等式[J].四川师范大学学报:自然科学版,2004,27(4):382-386.

[6]吴善和.平方凸函数与琴生型不等式[J].首都师范大学学报:自然科学版,2005,26(1):16-21.

[7]吴善和.对数凸函数与琴生型不等式[J].高等数学研究,2004,7(5):61-64.

[8]陈少元.AH-凸函数及其应用[J].湖北职业技术学院学报,2013,16(2):106-109.

[9]吴善和.GA-凸函数与琴生型不等式[J].贵州师范大学学报:自然科学版,2004,22(2):52-55.

[10]陈少元.GH-凸函数及其Jensen型不等式[J].首都师范大学学报:自然科学版,2013(5):1-5.

[11]宋振云.HA-凸函数及其Jensen不等式[J].德州学院学报,2014,30(4):16-21.

[12]陈少元.HG-凸函数及其Jensen型不等式[J].数学的实践与认识,2013,43(2):257-264.

[13]吴善和.rP-凸函数与琴生型不等式[J].数学的实践与认识,2005,35(3):220-228.

[14]张孔生,万建平.P-凸函数及其性质[J].纯粹数学与应用数学,2007,23(1):130-133.

[15]宋振云.MG-凸函数及其Jensen不等式[J].山东师范大学学报:自然科学版,2014,30(4):56-60.

[16]宋振云,陈少元.GM-凸函数及其Jensen不等式[J].数学的实践与认识,2014,44(20):280-287.

[17]匡继昌.常用不等式[M].4版.济南:山东科学技术出版社,2010.

[18]刘建忠.Cauchy不等式和Kantorvich不等式的推广[J].河北大学学报:自然科学版,2004,24(3):240-242.

[19]罗俊丽.关于Minkowski不等式的一个新推广[J].延安大学学报:自然科学版,2006,25(2):12-13.

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