权属发证过程中圆弧段面积变化问题研究

魏金占,赵自力(1．南宁市勘察测绘地理信息院,广西南宁 5300; ．珠海市规划设计研究院,广东珠海 1500)

权属发证过程中圆弧段面积变化问题研究

魏金占1∗,赵自力2
(1．南宁市勘察测绘地理信息院,广西南宁 530022; 2．珠海市规划设计研究院,广东珠海 215002)

摘 要:地块面积在转换前后经常出现面积偏差,经分析可知当前国内地块面积出现误差多由圆弧段的拟合造成,通过将圆弧段模型泰勒展开,经过反算,得到满足一定精度条件下拟合线段的数量,保证地块面积在转换前后达到一定精度需求。该方法原理简单,既保证了数据入库后面积满足精度需求,又不会增加数据的复杂程度。

关键词:圆弧段拟合；精度；地块面积

1　引 言

城市土地的巨大价值日益得到社会共识,据搜狐网报道,2015年北京新年土地市场首次出让,楼面价再次接近5万元/ m2,寸土寸金毫不夸张。因此由于土地权属产生的纠纷日益受到社会重视,而产生纠纷的原因,除了历史问题外,很多也是由于在面积核算时没有足够合理科学算法,造成面积计算上的细微差异。以测量限差和仪器精度而言,1 km2误差1 m2,误差在1个PPM(百万分之一),已经是当前硬件设备的极限,但如果用于土地发证很容易造成社会不稳定。当前土地发证精度要求已经达到0．01 m2,也就是说,仅仅依靠硬件手段技术提升已经不能解决此问题,必须查根溯源找出造成面积计算误差源头。

2　地块面积偏差原因

地块面积确认是非常严谨的法律行为,而地块面积的核算多在CAD端完成,属性管理多在GIS平台实现,由于两种平台对圆弧段表述不同造成面积入库后出现较大差异。众所周知,造成面积计算误差不外乎三类原因:一是坐标提取时精度取舍问题,如有些情况取到小数点后面两位,有些取到小数点后三位,因此在面积核算时不可避免造成面积核算的不一致;二是对数据模型描述的差异,如样条曲线定义不同,则以样条曲线为边界的地块面积必然不同;三是在不同软件转换时,对曲线转换精度取舍问题处理不当造成,如用一定数量的小段线段来拟合曲线。第一种原因即可以理解为硬件原因,第二种原因可在数据描述时采用统一模型避免出现误差,第三种原因可通过反算确定小段线段的数量来达到精度要求。

城市管理中因某些原因,边线表示的模型多采用直线段和圆弧段,如道路口转弯处表示多采用圆弧段[6]。而在数据入库时,多数GIS平台采用多线段拟合来表示圆弧段[1,7],因此CAD制图进入后台GIS平台后,在日常管理统计时就会出现制图面积与统计面积不同的情况,如图1所示。

图1　CAD平台与GIS平台转换前后面积差异

直接按照GIS平台的数据模型构面后面积偏差很大[8],因此在土地面积确认中必须解决这类问题。

3　问题解决

城市管理中对于面积的要求一般要优于0．01 m2,因此当约定的精度确定后,就可以通过反向计算相关参数来实现面积不超限。

一般城市管理中多采用三点定圆模式,因此当圆弧确定后,则三点所在的圆弧对应的圆心角也就确定,唯一不确定的就是用多少段小段线段来拟合圆弧[2,3],如图2所示。

图2　通过拟合小段线段的数量来控制拟合精度

其中每个三角形与对应扇形面积之差即为引起面积偏差的主要原因[4,8],上图显示,下半部分的拟合引起误差小于上半部分。

4　数学推理及程序实现

如上文所述,城市权属发证面积精度要求在0．01 m2以内,因此可以做以下数学计算和推理。假设误差面积为0．01,半径为R,切分小段段数为n,圆弧段圆心角a,则圆弧段引起的面积误差为:

(1/2)×R×R×[a-n×sin(a/ n)] =0．01

将sin(a/ n)按照泰勒级数展开,以上方程即为:

a-n×a/ n+n×(a/ n)3/6-n×(a/ n)5/120…=1/ (50 ×R2)

因a很小,n×(a/ n)5/120及以后的部分可以进行简略,上式可以简化为:

n×(a/ n)3＜6/ (50×R2)

则可求得n的取值范围:

n＞sqrt[(25×R2a3) /3]

通过以上数学推理可知,三点定圆满足一定面积精度需求的小线段数量n即可确定。对于参数中的半径和圆心角,可以通过如下算法实现。

首先确定圆的半径,具体如下:

设X,Y,R为未知,x1,y1,x2,y2,x3,y3为常数,x1, y1,x2,y2分别为圆弧段起始点和末端点,X,Y,R分别代表圆心坐标和半径。带入圆方程,如下:

式(1)-式(2),就是左边减左边,右边减右边,得到:

整理得:

式(2)-式(3)整理得:

再整理上面两式得:

为了便于程序实现,作如下假设:

a=2×(x2-x1);

b=2×(y2-y1);

c=x2×x2+y2×y2-x1×x1-y1×y1;

d=2×(x3-x2);

e=2×(y3-y2);

f=x3×x3+y3×y3-x2×x2-y2×y2;

则通过数学推理可得:

X=(b×f-e×c) / (b×d-e×a);

Y=(d×c-a×f) / (b×d-e×a);

R=sqrt[(x-x1)×(x-x1)+(y-y1)×(y-y1)]。

圆心角的计算如图3所示:

图3　圆心角计算示意图

已知圆心坐标(X,Y),圆弧段两端的坐标,则通过三角函数可知,三角形OAD中AD边对应的顶角即为圆心角的一半,即:

0．5×a=arctan(AD/ AO)

上式变换后,a=2×arctan(AD/ AO)

AD边长为AB边长一半,AO边长为半径,其中AB边长计算如下:

AB=sqrt[(x1-x2)2+(y1-y2)2]

以上公式可以变换为:

a=2×arctan{sqrt([x1-x2)2+(y1-y2)2] / (2×R)}

由此即可计算出在圆弧段引起面积的误差在限差内的各项参数了。

对于其他定义的圆弧段,如圆心和两端点、圆心和起始点及圆心角等,同样可以通过计算半径和圆弧段的圆心角来反算以上相关参数。

5　小 结

城市管理中对于土地面积的确认非常严谨,本文通过对引起面积偏差的原因进行初步分析,提出合理可行的解决方案。

虽然通过其他手段如属性字段或者扩展属性记录面积信息,但在频繁的数据互转时很容易丢[5]。而该方案通过反算拟合线段的数量来保证转换前后面积在容差之内,可以保证转换后的数据再转入其他GIS平台或CAD平台精度不降低。此外该方案实现原理简单,易于编程实现,是当前解决不同平台因圆弧段引起面积偏差的有效手段,不足之处是造成一定的数据节点的增加。随着IT技术提升,节点增加造成的效率降低问题几乎可以忽略。此外该方法仅用于处理圆弧段,对于椭圆弧、样条曲线弧等未作深入分析,也是后续研究需要加强的地方。

参考文献

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[2] 魏金占,熊旭平,施真娥．MapInfo中折线分割功能的扩展[J]．信息技术与信息化,2005(1):13～15．

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[5] 宋伟东,符韶华．DLG到GIS的数据转换方法研究[J]．测绘通报；2004(2):54～56．

[6] 白洪涛,张其林,魏吉东．寻找任意线段和圆弧围成区域的一种算法[J]．计算机应用；2001(10):36～37．

[7] 北京超图软件股份有限公司．SuperMap Objects开发教程(初级篇)[Z]．北京,北京超图软件股份有限公司,2008．

[8] 北京超图软件股份有限公司．SuperMap Objects开发教程(中级篇)[Z]．北京,北京超图软件股份有限公司,2008．

Study of Land Area Deviation During the Course of Land Area Identification

Wei Jinzhan1,Zhao Zili2
(1．Nanning Explore and Survey Geoinformation Insititute,Nanning 530022,China; 2．Zhuhai Institute of Urban Planning & Design,Zhuhai 519000,China)

Abstract:There is always area deviation during the conversion of different data．It is the curve fitting that causes the deviation of land area nowadays．By analyzing the Taylor expansion of curve model,the number of poly-lines is calculated which satisfies the demands of the precision control during the land area identification．The new method is very simple,which not only ensures the land area’s precision but also does not increase the complexity of the ownership conversion．

Key words:arc fitting;precision;land area

文章编号:1672-8262(2015)05-103-03中图分类号:P209

文献标识码:B

收稿日期:∗2015—06—08

作者简介:魏金占(1980—),男,硕士,注册测绘师,研究方向:GIS应用、遥感、测绘信息化等。

基金项目:珠海市规划设计研究院2014年度科研计划《DEM数据在规划编制中的应用》。