Fan-Todd不等式在矩阵论中的推广
2015-07-02金乐乐周其生
金乐乐 ，周其生
(安庆师范学院 数学与计算科学学院，安徽 安庆 246133)
Fan-Todd不等式在矩阵论中的推广
金乐乐 ，周其生
(安庆师范学院 数学与计算科学学院，安徽 安庆 246133)
利用矩阵迹的Cauchy-Schwarz不等式及性质，将著名的Fan-Todd不等式和与之相关的实数不等式推广到矩阵论中，得到矩阵迹的相应不等式，一些结论还推广到算子理论中。
矩阵；迹；Fan-Todd不等式；算子
作为矩阵的一个重要数字特征，矩阵的迹在数值计算、量子信息以及随机控制等方面有着广泛的应用。但是矩阵的乘法不具有交换性，许多实数不等式难以推广到矩阵论中。本文利用矩阵迹的Cauchy-Schwarz不等式及相关性质，将Fan-Todd等实数不等式推广到矩阵论中。
成立的任一实数序列，则
其中等式成立当且仅当
K.Fan等人利用这个定理证明了：
K.Fan等人对定理B作了进一步推广：
本文将以上几个不等式推广到矩阵论中，得到矩阵迹的相应不等式。先给出一个重要引理，即关于矩阵迹的Cauchy-Schwarz不等式：
引理1[5-6]设A,B为m×n复矩阵，则有
|tr(A*B)|2≤tr(A*A)tr(B*B)，特别当A和B为同阶实对称阵或Hermite阵时
|trAB|2≤trA2·trB2,
等号成立当且仅当存在常数c,使得A=cB。
下面是本文的主要结论。
定理1 设A,B为n阶非零实对称阵，对于任意常数c，B≠cA，又令X为满足trAX=0，trBX=1的任一同阶实对称阵，则
(1)
(2)
证明 对于任意的y∈R，yA-B为实对称阵，由引理1得
|tr[(yA-B)X]|2≤tr(yA-B)2·trX2
(3)
即|tr(yAX-BX)|2≤tr(yA-B)2·trX2。又tr(yAX-BX)=ytrAX-trBX=-1，所以
这说明对任何实数y,二次不等式恒大于0，因此判别式Δ≤0，即
因为对任意常数c，均有B≠cA，故由引理1知，trA2·trB2>(trAB)2，所以化简后有
上述不等式即证。
下面讨论定理1中等号成立的条件。
则(3)式等号成立(显然左边也算出等于1)，故由引理1知，存在c使得X=c(yA-B)(其中c为实常数)，即有
X2=c2(yA-B)2，
从而c2=(trX2)2，c=±trX2，故
X=±trX2(yA-B)。
当X=trX2(yA-B)时，
与定理条件不合，所以
X=-trX2(yA-B)=-trX2·
当(2)式成立时，不难计算(1)式等号成立。
注2 定理1是定理A的推广。为了看到这一点，令
下面讨论A,B为n阶复矩阵时的情况。
定理2 设A,B为n阶非零Hermite阵，且不存在常数c使得B=cA，又设X为满足trAX=0,trBX=1的任一同阶Hermite阵，则
证明 任意y∈R，yA-B也为Hermite阵，由引理1得|tr[(yA-B)X]|2≤tr(yA-B)(yA-B)*·trXX*=tr(yA-B)2·trX2，其证明与定理1的证法类似。
是两个满足aibj≠ajbi(i≠j)的n阶Hermite阵，则
它的n(n-1)项可以按以下成对形式分组：
根据定理1，可以推出
对定理3进行类似定理B到定理C的推广：
它的n(n-1)项可以按以下成对形式分组：
每一对这样的和等于零，即可推出trAX=0。同理可证,
因而由(1)式可得上述定理。
即为定理3的结论，可见，定理4是定理3的推广。
类似于定理1的讨论，可将文献[5]中一个实数不等式推广为下面结论。
定理5 设A,B为n阶非零Hermite阵，且不存在常数c使B=cA，又设任一同阶半正定Hermite阵X，满足trX2=1，trA2>0，trAX=0，则
(4)
其中等号成立当且仅当
证明 任意y∈R，由引理1，得
|tr[(yA-B)X)]|2≤
tr(yA-B)(yA-B)*·trXX*
(5)
|tr[(yA-B)X)]|2=[ytrAX-trBX]2=
(0-trBX)2=(trBX)2,
tr(yA-B)(yA-B)*·trXX*=
tr(yA-B)2·trX2=y2trA2-2ytrAB+trB2,
所以有(trBX)2≤y2trA2-2ytrAB+trB2,
即对于∀y∈R有(trA2)y2-2(trAB)y+trB2-(trBX)2≥0成立。因此Δ≤0，即Δ=[-2(trAB)]2-4·trA2·[trB2-(trBX)2]≤0
即(trAB)2-trA2·[trB2-(trBX)2]≤0。
因为对任意常数c，均有B≠cA，故由引理1知，trA2·trB2>(trAB)2，所以有
下面讨论定理5中等号成立的条件。
此时,tr(yA-B)2·trX2=tr(yA-B)2=
故(5)式等号成立，由引理1知，存在常数c，使得
X=c(yA-B)，
trBX=c(ytrAB-trB2)=
因(trBX)2=tr(yA-B)2=
定理2讨论的是Hermite矩阵，定理2可以进一步推广到算子论中。
定理6 设A,B为非零Hilbert-Schmite类Hermite算子，且不存在常数c，使得B=cA。又设X为满足trAX=0，trBX=1的任一Hilbert-Schmite类Hermite算子，则
证明 记全体Hilbert-Schmite类算子为C2[7]，任意y∈R，yA-B也为Hilbert-Schmite类Hermite算子，在C2类算子中定义内积
|
即|trA*B|2≤trAA*·trBB*。
特别地，当A,B为C2中Hermite算子时有|trAB|2≤trA2·trB2，所以|tr[(yA-B)X]|2≤tr(yA-B)(yA-B)*·trXX*=tr(yA-B)2·trX2。
此定理的证明与定理2的证明过程相同，因此可以将定理2推广至算子理论中。
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[7] 孙善利, 王振鹏. 泛函分析[M]. 北京: 北京航空航天大学出版社, 2008: 117-135.
Generalization of Fan-Todd Inequality in the Matrix Theory
JIN Le-le, ZHOU Qi-sheng
(School of Mathematics and Computational Science, Anqing Teachers College, Anqing 246133, China)
In this paper, famous Fan-Todd real inequalities are generalized to the matrix by the Cauchy-Schwarz inequality, and some corresponding matrix trace inequalities are obtained.Some conclusions are given in operator theory.
matrix, trace, Fan-Todd inequality, operator
2014-12-23
金乐乐，女，安徽安庆人，安庆师范学院数学与计算科学学院硕士研究生，研究方向为矩阵与算子理论。
时间：2016-1-5 13:01 网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160105.1301.006.html
O151.21
A
1007-4260(2015)04-0019-05
10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.04.006
