法出自然，思揭本源——2014年北京市高考第19题赏析

☉北京市丰台区第二中学 孙泰 郑新春

法出自然，思揭本源
——2014年北京市高考第19题赏析

☉北京市丰台区第二中学 孙泰 郑新春

2014年高考北京试卷理科第19题，保持了北京卷简捷、优美的一贯风格，读罢研磨，发现该题入口平实、思路宽泛、底蕴深厚，紧扣解析几何的思想精髓，堪称精品之作.赏析第（Ⅱ）问的解法，探寻一般结论，进而类比推广，无疑对激发学习兴趣、提升解题能力、丰厚解析几何教学资源大有裨益.

一、原题呈现

题目已知椭圆C：x2+2y2=4.

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论.

二、解法研究

解析几何较欧氏几何，最大的优势是把“运动变化引进了数学”，使我们实现了“用点的坐标刻画运动”这一基本代数手段研究几何问题的设想.而本题的解决过程淋漓尽致地展示了这一优势.

观察第（Ⅱ）问，如图1，直线AB是一条动直线，研究该动直线与圆x2+y2=2的位置关系，实则判断原点到直线AB的距离与√2的大小，而原点到直线的距离可由“点到直线的距离公式”或“等面积法”获得，这是解决问题的基本思路.在我们追溯直线AB因何而动的过程中，自然产生了三类解题策略，展现出多种平实之入口（仅以入口1为例，阐述完整的解题过程）.

图1

1.视点A为主动点

从题设看，点A在椭圆C上的运动是主动的，而点B是受条件“OA⊥OB”的制约，在直线y=2上被动地运动.所以，我们设参数刻画点A的运动，并用该参数表示点B的坐标，进而得到直线AB的方程或OA、OB及AB之长，即成为自然的选择.

入口1：设点A（x0，y0），由题意知x0≠0，由OA⊥OB，

解法1：利用点到直线的距离公式解题.

解法2：利用等面积法解题.

入口4：设直线OA的斜率为k，则直线OA的方程为y= kx，代入椭圆C的方程，解得

当k=0时，点A，B的坐标分别为（2，0），（0，2），圆心O到直线AB的距离

2.视点B为主动点

就本题而言，我们不受题设干扰，转换角度，可以发现，视点B在直线y=2上主动运动，完全不悖题意，异曲同工，还有运算更简的收获.

入口5：设点B（m，2），当m=0时，由OA⊥OB得点A的坐标为（-2，0）或（2，0），易得圆心O到直线AB的距离为，此时直线AB与圆x2+y2=2相切；当m≠0时，由OA⊥ OB得OA的方程为

入口7：当直线OB的斜率k不存在时，点B坐标为（0，2），点A坐标为（2，0）或（-2，0），圆心到直线AB的距离d=，结论成立.

当直线OB的斜率k存在时，直线OB、OA的方程分别为y=kx（显然k≠0）（下面求点A、B的坐标，建立直线AB的方程，与解法1类似，或求OA、OB的长与解法2类似）

3.淡化点A、B的主从地位

研究题设，发现点A、B被条件“OA⊥OB”一肩挑起，这又为我们淡化它们的主从地位，产生如下解法提供了方便.

入口8：设点A、B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0.因为OA⊥OB，所以，即tx0+2y0=0，解得.余下同解法1.

入口9：令OA=r1，OB=r2，圆心O到直线AB的距离为d，则点A的坐标为（r1cosθ，r1sinθ），点B的坐标为，根据点A、B分别在椭圆C和直线y=2上，故有此同解法2，不过要得需要对解题过程有一定的前瞻意识.

三、从合情推理到演绎证明

解罢本题，笔者被它简捷优美的结构和丰富多彩的入口深深震撼，不禁扪心发问，如此精妙的问题是天成偶得还是内含玄机？高考命题的源与流是什么？我们在将题中涉及的曲线一般化，一探究竟的过程中，竟得如下一系列令人兴奋的命题.

1.从特殊到一般

从命题1出发，变化不同的思维角度，可得如下推论.

（1）从度量角度得推论1.

注：2014年北京市高考理科第19题显然是此命题的特殊情况.

（2）逆向思考，得推论2和推论3.

2.类比推广

研究至此，笔者对能否把上述结论中的直线、或者圆、甚至椭圆分别换成其他曲线，相应结论是否成立，发生了锲而不舍的兴趣，反复尝试、研磨，终得正果.

（1）若点B的轨迹由直线变换为其他曲线

选特殊的位置观察，对于圆x2+y2=m2，当OA是椭圆的长半轴时，AB与圆相切交y轴于点；同理，当OA是椭圆的短半轴时，推测点B所在曲线方程为，遂得命题2.

证明：令OA=r1，OB=r2，圆心O到直线AB的距离为d，则点A的坐标为（r1cosθ，r1sinθ），点B的坐标为由点A在椭圆C1上，点B在曲线C2上得因此圆心O到直线AB的距离=m.所以直线AB与圆x2+y2=m2相切.

注：当m=b得到2014年北京高考理科第19题的推广命题1；当得到2009年山东高考理科第22题的推广，至此发现两道高考试题“同根同源”.当m＜b时，曲线C2为椭圆，椭圆、椭圆和圆三圆相伴；当b＜m＜a时，曲线C2为双曲线，双曲线、椭圆和圆珠联璧合.

（2）点A的轨迹由椭圆变换为其他曲线.

命题4已知点A在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，点B在直线上，设O为原点，且OA⊥OB，则直线AB与圆相切.

（3）与直线AB相切的曲线由圆变换为其他曲线.

=1（0＜m＜a）上，点B在曲线上，设O为原点，直线OA、OB的斜率分别为则直线AB的包络曲线C2的方程

四、结束语

面对当今高考几近统一的标准，用“棋谱定式”般的演绎推理来解决“成型”的试题，已成为我们的“强项”，“高效数学课堂”也常被误读为“速解问题”的代名词，学生很少尝试数学研究的过程，很难体会到数学在发现、类比、归纳、证明过程中的思维之美，更体验不到创造的激情，这样的教学，很难培养出善于提出问题和解决问题的创新人才.数学先哲毕达哥拉斯说：“在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么”，张饴慈教授、章建跃先生分别著文1、文2告诫我们一线的教师要发挥数学内在的力量，大数学家高斯说出数学学习的真境界：“给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断的学习；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登.”所以，挖掘教学“矿点”，探索过程与结论并重的数学学习方式，是我们工作的重要目标.站在长远的角度，我们甚至可以说：结论可以无用，过程断然无价.

最后，诚挚感谢北京市数学特级教师连春兴老师的帮助.

1.张饴慈.解数学题不应是公式、规则的演绎游戏［J］.数学通报，2010（6）.

2.章建跃.发挥数学的内在力量为学生谋求长期利益［J］.数学通报，2013（2）.FH