一维绝热等熵微喷管分析与计算

方运惠，童军杰，马晓茜

(1.广州航海学院，广州 510725;2.华南理工大学，广州 510641)

微喷管是微推进系统的一个核心部件，主要用于微小型卫星等微型航天器精密调姿和轨道定位。微喷管的性能参数是衡量其工作性能的主要参数，目前对于微喷管的数值计算研究主要为针对特定结构微喷管的二维和三维计算［1-5］，通用性较差。

本文对一维等熵微喷管进行理论分析，并进行了程序设计，有助于定性地研究不同的几何扩张比、不同的流体工质、和喷管出口余压对微推进器性能参数的影响;为实验测试提供理论分析。

1 理论分析

1.1 基本性能参数

微喷管的基本性能参数主要包括质量流量m、推力F 和比冲Is。

质量流量m:是单位时间通过喷射器的流量，其定义为

其中:ρ 为通过喷管截面的流体平均密度;u 为通过喷管截面的流体平均速度;A 为喷管的截面积。

推力F:是推进系统产生的一个作用在飞行器上，使飞行器向前的力。总推力F 由冲量和余压推力2 部分组成，计算公式为

其中: ue为喷嘴出口速度;pe为喷嘴出口静压;pen为环境压力;Ae为喷嘴出口截面积。在真空中，pen= 0，此时推力大小为

总冲(量)It:为推力F(可随时间变化)对工作时间τ 的积分

比冲Is:单位质量推进剂所获得的推力。这是衡量推进器性能的重要参数。数字越大表示性能越高。若推进剂总流量为重力加速度为g

式(5)给出了任意推进器的时间平均比冲值，特别是推力随时间变化的情况。在瞬变情况(启动或推力建立阶段、关机阶段、变流量或变推力过程)下，Is的值可通过积分或对F 和在短时间内取平均得到。对于恒定的推进剂流量、恒定的推力F，忽略短时间的启动或关机瞬变过程，有

1.2 一维等熵推进理论

在稳定的喷管流中，对喷管进行一维分析，随着流动方向，喷管截面发生变化，流体的温度、压力、密度等参数随之发生变化，但对喷管同一截面，认为各参数均匀一致。

对于Laval 喷管，一维等熵绝热理论如下:

连续性微分方程

不考虑质量力的动量微分方程

状态方程的微分方程

绝热状态方程的微分方程

马赫数

能量微分方程

绝热状态不考虑黏性损失时dq =0，并且不考虑重力势能的变化时gdz =0，对于喷管，对外做净功dwt=0，式(12)转变为

将式(7)～式(13)联立求解可得到面积A、马赫数Ma变化和速度u 的关系

从式(14)可以看到:在喉部前，由于喷管截面积A 收缩，流体流速u 小于当地音速c，流速u 增加;在喉部时达到当地音速c;在喉部后，由于喷管截面积A 扩张，流体流速u 大于当地音速c，流速u 增加。

2 一维绝热等熵喷管推进性能计算

2.1 相关公式

当喷嘴出口背压为接近真空时，在给定Laval 喷管的几何形状时，以及喷管的进口压力p*和进口温度T* 时，可以利用以下公式计算喷管的出口流速ue、出口压力pe，质量流量m，推力F 和比冲等Is参数。

其中，当喉部面积At和几何扩张比Ae/At.确定时，喷管的几何形状基本确定［1-3］。

当流体的比热随温度变化较小时，可以认为是常数，式(13)进一步改变可求得喷管的出口速度ue

喷嘴出口速度理论可达到最大值(ue)max

此时，喷管的几何扩张比Ae/At为无穷大。

质量流量m:根据连续性方程可知，在稳态情况下，在喷管的各个截面处，质量流量处处相等，联立方程式(7)和式(14)，可得质量流量m 大小为

根据连续性方程式(7)和喷管出口速度方程式(14)，喷管在设计工况下气体完全膨胀工作时出口面积与喉部面积比At/Ae与喷管进出口压比pe/p*的关系为［6］

喷管喉部处的速度、压力和温度为临界速度ucr、临界压力Pcr和临界温度Tcr。

临界压力Pcr

喉口临界流速为ucr

临界温度Tcr

临界密度ρ*

临界流量mcr

不考虑喷管出口余压时喷管出口推力F

考虑喷管出口余压时喷管出口推力F

微喷管的喉部特征雷诺数表征微喷管内流体的惯性力和黏滞力的比值，可以定性地分析微喷管内实际气体性能参数的效率

其中: Re 为喉部特征雷诺数;H 为刻蚀深度;μ 为流体的动力黏度。

2.2 计算程序流程

综合上面的理论，对喷管背压为接近真空的推进性能计算进行了程序设计，其计算流程如图1 所示。根据喷管一维计算流程图所示，计算程序流程如下:

1)输入喷管进口滞止参数p*，T*，输入喷管几何结构参数，主要包括:微喷管喉部面积At，几何扩张比Ae/At* 。

输入根据计算精度所需要设置的迭代误差delt，当计算误差小于迭代误差时，计算收敛。

修正系数为mi和ma，mi为小于1 的正数，ma为大于1的正数。修正系数与1 的差值越小，迭代计算过程中，数值的震荡性越小。

2)设定最大迭代次数n，初始迭代次数为1。

3)假定初始的喷管的进出口压力比pep*，根据式(16)，计算相应的(Ae/At)i。如果|(AeAt)i-AeAt| ＞delt，进行下一步，如果|(AeAt)i-AeAt| ＜delt，计算收敛，转至6)进行。

4)如果(AeAt)i＜AeAt则(pep*)= mi(pep*)，i =i +1;如果(AeAt)i＞AeAt则(pep*)= ma(pep*)，i=i+1。

5)当迭代次数i ＞n，进行下一步，如果i ＜n，转至3)进行计算。

6)根据以上计算结果，计算喷管出口压力pe，速度ue，流量m，推力F，余压推力fe。

7)输出计算结果。

如图1 为根据以上流程绘制的喷管一维等熵绝热计算流程图。

图1 喷管一维绝热等熵绝热计算流程

2.3 计算结果分析

根据喷管一维等熵绝热计算程序，对微喷管进行了一维等熵数值计算。

微喷管的几何结构参数、喷管出口环境背压和微喷管内流体工质如下:

1)以文献［1，2］中为参照，微喷管几何结构扩张比为5.4，喉部宽度为19 μm，刻蚀深度为300 μm。

2)喷管内流体工质分别为氮气N2，氧气O2，二氧化碳CO2，氢气H2和氦气He。

3)喷管入口压力分别为0.5 ～3.0 bar。

4)喷管入口流体温度分别为300 ～1 300 K。

5)喷管出口环境背压分别为0 Pa，50 Pa 和500 Pa。

2.3.1 入口压力对微喷管的影响

如图2、图3 和图4 所示为喷管入口压力为0.5 ～3.0 bar，喷管出口环境背压为0 Pa 时，喷管内流体工质分别为氮气N2，氧气O2，二氧化碳CO2，氢气H2和氦气He 时，喷管质量流量m、喷管出口推力F 和喉部特征雷诺数Re 变化。

图2 不同入口压力下微喷管质量流量

从图2 中可以看出，相同的喷管入口压力下，二氧化碳CO2的流量最大，氦气N2的流量最小;随着喷管入口压力P*的增加，喷管出口的流量m 随之增加。

分析认为，由于二氧化碳CO2的摩尔分子量最大，因而其质量流量m 最大;氢气和氦气的摩尔质量小，因而质量流量小。随着喷管入口压力P*的增加，流体工质的密度ρ 增加，因而质量流量m 随之增加。

图3 不同入口压力下微喷管出口推力

从图3 中看出，理想情况下，随着喷管入口气体压力P*的增加，喷管出口的推力F 随之增加。相同的喷管入口压力P*下，多原子气体工质二氧化碳CO2的推力最大，双原子气体氮气N2，氧气O2，和氢气H2的推力相等，而单原子气体氦气He 的推力最小。

分析认为，由式(15)、式(16)和式(22)可知，喷管出口的推力与气体绝热指数γ，喷管入口压力和喷管入口温度T*有关，因而随着喷管入口气体压力P*的增加，喷管出口的推力F 增加。当喷管入口压力P*和喷管入口温度T*相等时，喷管出口推力只与喷管内气体的绝热指数γ 有关。随着绝热指数γ 增加小，喷管出口推力F 随之减小。

图4 不同入口压力下微喷管喉部特征雷诺数

从图4 中看出，随着喷管入口压力P*的增加，喷管喉部特征雷诺数Re 随之增加，在相同的喷管入口压力P*和喷管入口温度T 下，二氧化碳CO2的推力F 最大，氦气He 的喉部特征雷诺数Re 最小。

分析认为，喷管喉部特征雷诺数Re 由喷管的定型尺寸L、气体的质量流量m 和动力黏度μ 影响。随着喷管入口压力P*的增加，气体的质量流量m 增加，因而喷管喉部特征雷诺数Re 增加。在相同的喷管入口压力P*和喷管入口温度下，二氧化碳CO2的质量流量和动力黏度比值最大，因而其喉部特征雷诺数最大;氦气He 的质量流量和动力黏度μ 比值最大，因而其喉部特征雷诺数Re 最小。

由于喷管喉部特征雷诺数Re 表征惯性力和黏滞力的相对大小，因而其大小可定性地分析微喷管实际气体的推力效率ηF和质量流量系数Cd。

2.3.2 入口温度对微喷管的影响

如图5 和图6 所示为喷管入口流体压力为0.5 bar，喷管入口流体温度为300 ～1 300 K，喷管出口环境背压为0 Pa，喷管内流体工质分别为氮气N2，氧气O2，二氧化碳CO2，氢气H2和氦气He 时，喷管出口比冲Isp和喉部特征雷诺数Re的变化。

图5 不同入口温度下微喷管出口比冲

从图5 中看出，随着喷管入口温度T*的增加，微喷管出口比冲Isp随之增加，在相同的喷管入口压力和喷管入口温度下，氢气H2的比冲最大，二氧化碳CO2比冲最小。

分析认为，根据式(6)，比冲Isp主要由喷管出口推力F和喷管的质量流量决定;根据式(3)和式(15)，随着喷管入口温度T*的增加，产生相同推力F 的质量流量m 减小，因而比冲Isp增加。

在相同的喷管入口流体温度T*和喷管入口流体压力P*下，氢气的推力F 和质量流量m 比值最大，因而比冲最大;而二氧化碳CO2推力和质量流量m 比值最小，因而比冲Isp最小。

图6 不同入口温度下微喷管喉部特征雷诺数

从图6 中看出，随着喷管入口温度T*的增加，微喷管喉部特征雷诺数Re 随之减小，在相同的喷管入口压力P*和喷管入口温度T*下，二氧化碳CO2的喉部特征雷诺数Re 最大，氢气的喉部特征雷诺数Re 最小。

分析认为，随着喷管入口温度T*的增加，产生相同推力F 的质量流量减小，因而微喷管喉部特征雷诺数Re 随之减小。

在相同的喷管入口流体温度T*和喷管入口流体压力P*下，二氧化碳CO2的摩尔质量MCO2和动力黏度μ 比值最大，因而喉部特征雷诺数Re 最大;而氢气H2的摩尔质量MH2和动力黏度μ 比值最小，因而喉部特征雷诺数Re 最小。

2.3.3 出口环境背压对微喷管的影响

如图7 所示为喷管入口流体为氮气N2，喷管入口流体压力为0.5 bar，喷管入口流体温度为300 ～1 300 K，喷管出口环境背压分别为0 Pa、50 Pa 和500 Pa 时，喷管出口比冲Isp变化。

图7 不同环境背压下微喷管比冲随温度变化图

从图7 中看出，随着微喷管出口环境背压Pen的增大，微喷管出口比冲Isp减小。

分析认为，根据式(23)，随着微喷管出口环境背压的增大，喷管出口余压推力(pe-pen)Ae随之减小［7］，因而微喷管出口比冲Isp减小。

3 结论

1)本文对喷管出口接近真空情况一维稳态可压缩喷管内流体进行了理论分析，研究了喷管几何结构参数，喷管入口流体压力P*，喷管入口流体温度T*，喷管出口环境背压和不同工质对喷管出口性能参数的影响。在此基础上进行了一维微喷管绝热等熵计算程序设计。

2)针对喉部宽度L 为19 μm，刻蚀深度H 为300 μm 的微喷管进行了数值计算。

3)随着流体入口压力P*的增加，微喷管的流量m、微喷管出口的推力F 和喉部特征雷诺数Re 随之增加。在相同的喷管流体入口压力P*和喷管流体入口温度T*下，喷管的流量随着气体的摩尔质量M 增加而增加;喷管出口推力F只与喷管内气体的绝热指数γ 有关。喷管出口推力F 随着γ 的减小而增大;喉部特征雷诺数Re 随着气体的质量流量m 和动力黏度μ 的比值增加而增加。

4)随着流体入口温度T*的增加，微喷管出口的比冲Isp随之增加，微喷管喉部特征雷诺数Re 随之减小。

在相同的喷管流体入口压力P*和喷管流体入口温度T*下，氢气的推力F 和质量流量m 比值最大，比冲Isp最大;而二氧化碳CO2推力F 和质量流量m 比值最小，比冲Isp最小。

5)随着微喷管出口环境背压Pen的增大，喷管出口余压推力(pe-pen)Ae随之减小，微喷管出口比冲Isp减小。

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