小学数学教材二次开发的策略

冯桂群

随着新课程改革的进一步推进，“用教材教”“教材无非是个例子”“教材的二次开发与优化”等理念越来越得到大家的认同。如何通过对教材的二次开发，使数学教学更好地符合数学自身的内在发展逻辑，更好地遵循儿童的年龄特点和认知规律，既突显“数学味”又彰显“儿童味”，使儿童真正享受到“既好吃又有营养”的数学呢？下面以苏教版四年级下册《图形的旋转》教学为例，谈谈教材二次开发过程中在资源整合、模型建构及实践运用等方面采取的一些策略，以期抛砖引玉，得到大家的指点与赐教。

一、 资源整合策略：化单调为有趣，化单一为丰富

苏教版四年级下册的《图形的旋转》是学生在三年级初步感知生活中常见的旋转现象后教学的，要求学生不仅要知道图形旋转的三要素（旋转中心、方向及角度），还要在活动中体会平面图形旋转的规律，主动学会在方格纸上画出简单封闭图形绕一点旋转90°后的图形，进一步发展空间观念。在研读教材安排的第一部分内容“认识旋转三要素”时我们发现：这里教材只安排了两项内容——例题中转杆的旋转与练习中指针的旋转。收费站转杆的旋转运动巧妙地涵盖了旋转的三要素，但对学生来说有一定的距离感，缺少童趣，同时，转杆旋转的方向只包括十字坐标四个象限里8种旋转情况中的2种，不具有代表性和全面性。

在深研教材和学生的过程中我们发现：简单封闭图形的旋转最终要转化到围成此图形的关键横线段或竖线段的旋转上来，而横线段旋转90°后会竖在旋转中心的上边或下边，竖线段旋转90°后会横到旋转中心的左边或右边。而能生动有趣地表征线段的旋转要素和旋转规律的现实模型是学生的手臂运动。为此，我们将书上“认识旋转三要素”的2个环节拓展、整合为以下5个环节：

1.课前做“手臂运动操”

离上课还有1分钟时，组织学生玩一玩手臂运动操，要求举手臂时做到横平竖直，同时说出手臂所指的方向。如举左侧手臂，边举边依次说出所指方向：左、上、左、下，举右侧手臂，同时说出所指方向：右、上、右、下。有趣、简单的手臂运动操奇妙地蕴涵了旋转三要素和线段旋转的位置变化规律，为后面的逐步抽象和建模运用打下了伏笔。

2.观察旋转现象并引导提问，从而导入新课

通过让学生观察屏幕中多种物体的旋转运动，巧妙地激活学生已有的知识与经验，并通过“关于旋转，你想研究哪些问题？”使学生在轻松愉快的提问情境中带着疑问，顺畅地进入新知识的探究之旅。

3.研究转杆旋转的三要素

先让学生观看转杆打开与关闭的动态视频，再观察打开与关闭的静态对比图，并引导学生思考开放性的问题——“有什么发现”。观察中，学生最易发现的是——都旋转了90°。借助旋转的角度，教师引导学生发现——这个90°的角是转杆绕下端（左端）的点旋转得到的，这个点是固定不动的，是旋转的中心。“还有什么发现呢？”在进一步的观察、交流和手势比划中，学生发现了顺时针旋转与逆时针旋转。最后通过让学生说一说“关闭（打开）时，转杆绕什么点怎样旋转了多少度？”使学生对旋转三要素有了一个完整的认识。

4.在想象中交流手臂运动游戏中的旋转规律

“还记得课前的手臂运动操吗？如果用这个箭头表示手臂朝下的动作，借助旋转手臂的经验，想象一下：将它依次绕a点顺时针旋转90°，朝下的箭头会依次朝哪里呢？”借助以上的启发以及想象之后的直观验证，学生轻松地发现了其中的旋转要素与规律：将它依次绕a点顺时针旋转90°，朝下的箭头会依次变为朝——左、上、右、下。如果是绕a点逆时针旋转90°，箭头会依次由朝下变为朝——右、上、左、下。此环节既巩固了旋转三要素，又及时地将学生旋转手臂的经验进行了理性提升，使学生自主提炼出带箭头的线段在十字坐标的四个象限中旋转后的位置变化规律，感悟到竖线段旋转90°后会横过来，横线段旋转90°后会竖起来，为后面将简单封闭图形的旋转转化为主要横、竖线段的旋转做了“位置变化”方面的铺垫。

5.独立完成书上的练习“看图填空”

在练习指针的旋转运动中，进一步巩固旋转三要素，培养学生的数学眼光与运用意识。

在以上教学过程中，我们在教学资源的整合上狠下功夫，通过将做手臂运动操、观察转杆运动中提问、想象中发现线段旋转的规律等活动引入课堂，竭力化单调为有趣、化单一为丰富、化呆板为生动，使学生借助有趣、丰富、生动的学习资源在兴趣盎然的观察、操作、想象、发现及表述等活动中对“物体旋转的三要素”及“线段旋转的位置变化规律”有了生动、丰满而深刻的认识，体现了数学活动的丰富性与层次性、思维活动的有序性与提升性，并为后面研究图形的旋转打下了坚实的认知基础。

二、 模型建构策略：由整体到局部再到整体，由直观到表象再到抽象

弗赖登塔尔将数学化分为横向数学化和纵向数学化。横向数学化是“把生活世界引向符号世界”，纵向数学化是“在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用”。《图形的旋转》中横向数学化的部分包括由手臂、转杆、指针的旋转让学生认识旋转的三要素——中心、方向与角度，还包括由手臂的旋转到相对应的带箭头线段的旋转，由三角形纸片的旋转到相对应的最简单的封闭平面图形——三角形的旋转。然而，仅有横向数学化是远远不够的。要画出由三条或四条线段围成的封闭平面图形旋转后的图形，关键是要化整为零，将面的旋转转化为部分主要线段围绕定点的旋转，即由面到线再到定点，之后循序渐进，再由定点到线再到面，从而引领学生有序经历由整体到局部再到整体、由复杂到简单再到复杂、由形象到表象再到抽象、由想象到推理和建模的纵向数学化过程，使学生在轻松自如、有序提升的探究中掌握图形旋转的策略与步骤，感受转化、变与不变等数学思想。具体的教学安排如下：

1.在想象与验证中研究三角形纸板的旋转

教师借助三角形硬纸片，组织学生进行“想象与验证”的游戏。具体过程如下：先通过爱因斯坦的名言“想象力比知识更重要”引出想象游戏——让学生拿出三角形纸板，将它与方格纸上的三角形完全重合，用手指一指三角形的顶点a，在头脑里想象将它绕a点旋转90°。之后提问：它的位置到了哪里？想出来了吗？想得对不对呢？于是引导学生进行操作验证。验证之后，让学生通过实物展台进行交流，使学生进一步明确：可以将三角形纸板绕a 点顺时针旋转90°，也可以绕a 点逆时针旋转90°。以上的实物操作游戏通过先想象再操作验证和准确表述的活动过程，很好地发展了学生的整体感受力和空间想象力，并促使学生的思维及时地由实物操作提升为表象操作与符号操作。

2.在观察与交流中发现图形旋转前后的变化规律

在操作与验证之后组织学生进行观察与交流：旋转前后，图形的什么变了，什么没变？旋转前后的对应边呢？交流中学生发现：图形的位置变了，形状与大小没变；对应边的位置变了，长度没变。至此，横线段或竖线段旋转的两个重要因素——位置变化（第一部分的第4环节）与长度不变的规律已经水落石出了，从而巧妙地分散了学习难点，使得将封闭图形的旋转转化为主要线段的旋转的思路得以水到渠成。

3.在独学与互动中探究平面图形（三角形）的旋转方法与步骤

先启发学生进行表象操作与符号操作：不借助纸板，你能根据头脑中想象的结果，画出这个三角形绕a点旋转90°后的图形吗？先想一想，哪几条边旋转之后的位置比较容易确定？想好了就用水彩笔和尺子画一画，并标出旋转方向。在交流画法时，重点追问3个问题：在这个三角形中，哪几条边旋转之后的位置比较容易确定呢？（相交于中心点的长直角边和短直角边）将长直角边怎样旋转，到了a 点的哪边，画几格，短直角边呢？为什么长直角边和短直角边各画了5格和3格？在以上独立探究与互动交流中，学生自然生成了图形旋转的解题模型：想图、找边、画边围图。

在以上教学过程中，教师创设了三个阶梯，由浅入深地引领学生充分地观察、想象、验证、比较、作图、概括，从想象、验证三角形纸板的旋转，到对比、发现图形与对应边的旋转规律，到最后动手画出头脑中想象的旋转后的三角形并用语言表述出来，学生成功地摆脱了外在具象的束缚，使数学思维成功地上升到表象与抽象、想象与推理的理性层面，并在充分的探究与体验中真切地把握了画旋转图形的关键要领：先找与定点相连的几条横竖线段，借助想象画出主要线段旋转后的位置与长度，最后连成封闭图形。这样就巧妙地将看似与面有关的封闭图形的旋转，转化为几条横竖线段的旋转，而横、竖线段旋转90°后又总会竖或横到定点的上下左右四个方位中的某一方位，长度不变，使复杂问题简单化，从而突破了教学难点，为学生后面独自解决变式情境中各种图形的旋转打下了扎实的模型基础。

三、 变式运用策略：由双基到四基，由运用到欣赏

2011年出版的《义务教育数学课程标准》把原有的双基拓展为四基——除了我们熟悉的基础知识和基本技能外，还增加了“基本数学思想和基本活动经验”。那么在建模基础上通过变式练习灵活运用模型时，我们的着眼点就不能仅仅停留在巩固基础知识和基本技能上，还应将学生的视野引向更广阔的现实世界和更深邃的数学世界，实现数学学习的外化与深化，使学生在丰富而多层面的实践活动中积累基本活动经验、感悟基本数学思想，强烈地感受到数学学习的现实意义与实用价值，欣赏到数学自身内在的思想魅力与发展规律。为此，在《图形的旋转》变式运用中，我们设计了以下4个层次的练习：

1.又快又好地画出旋转之后的长方形

教师启发：在这个长方形中，哪几条长或宽旋转之后的位置比较容易确定呢？

2.先交流作图思路再画出旋转后的小旗图

画图前启发：先想象一下小旗旋转后的位置在哪儿，是什么样儿的？哪几条边旋转之后的位置比较容易确定？先在4人小组里交流，再动手画。交流时启发：结合旋转手臂的经验想象一下，旗面原来在旗杆的右面，逆时针旋转之后，旗面肯定在旗杆的哪面？旋转后横边到底竖在哪儿呢？为什么？（这条横边跟B点相距1格，旋转后与b仍然相距1格。）

3.动态展示生活中的旋转现象

今天我们只是学习了图形旋转的冰山一角，放眼生活，我们随时能看到更多旋转创造的美丽。（多媒体动态显示通过旋转得到美丽图案的动画。）这些精美的图案是通过什么创造的？（旋转）

4.动态展示图形中的旋转现象

旋转的美丽和神奇远不止这些。（出示平行四边形，明确它不是轴对称图形。）动态演示左边的三角形绕着对角线的中心点顺时针旋转180度，结果左右两边完全重合，进而指出——这一神奇的旋转现象到中学会做深入的研究。

在以上的练习中，第一个练习巩固作图三步骤——想图、找边、画边围图，让学生在模仿中获得成功的体验，积累画图经验；第二个练习是提升性的练习，极富挑战性，使学生在想象中更好地发展空间观念，在理性思辩中培养合情推理能力和模型运用能力，感受转化、“变与不变”等数学思想。第三个练习是让学生欣赏图形旋转在实践运用中创造的神奇与美丽，激发学生用数学知识创造生活美的热情，实现由数学世界向生活世界的回归，也为学生五年级时进一步学习图形的连续旋转打下伏笔。第四个练习是让学生在纵向数学化的世界里更进一步，拓展数学思维的视界，感受旋转在图形世界的发展与联系中所创造出的精彩与奇妙。

在数学教材的二次开发中，如果通过资源整合策略使乏味生硬的数学学习变得生动活泼了，通过模型建构策略使艰涩难懂的数学学习变得轻松自如了，通过变式运用策略使机械单调的数学学习变得愉悦丰厚了，那么我们的数学课堂也就离黄克剑教授所说的“授受知识、开启智慧、润泽生命”的至高境界越来越近了，那么借助优质高效的数学课堂培养学生的创新精神与实践能力的夙愿也就一定能实现。

【责任编辑：陈国庆】