对弹性变形能大小与加载次序无关的证明的思考＊

李宏德

（中州大学教务处，河南郑州450044）

对弹性变形能大小与加载次序无关的证明的思考＊

李宏德

（中州大学教务处，河南郑州450044）

弹性变形能大小与加载次序无关这一论述，结论重要，基础作用大，在弹性理论中具有特殊地位，应该也需要有严格的逻辑证明。文献多以假定或特例的形式进行阐述或论证，作为一个重要证明尚显不足。文章从不同的角度对相关问题做了分析，并对这一命题的证明提出建议。

弹性体；变形能；加载次序；证明

弹性体变形能大小与加载次序无关这一论述，尽管没有以原理的形式被体现，但作用十分重要，它是复杂应力状态的变形能分析、克拉贝隆原理、虚位移原理、功的互等定理以及卡式定理等许多重要原理（定理）成立的基础或得以证明的依据。而考察发现这一结论本身却没有得到严格的推理性证明。

1 弹性体变形能大小与加载次序无关的现有论证及不足

从根本上看，关于弹性体变形能大小与加载次序无关的已有证明都是以能量守恒原理为基础的。由于所选择的具体分析参数的不同，在形式和方法上有所不同。目前，该命题有代表性的论证有两种。

1.1 基于功能转换视角的论证

根据文献［1］，在三向应力状态下，弹性体变形能与外力做功在数值上相等，且只决定于外力和变形的最终值，而与加力的次序无关。其分析认为，如用不同的加力次序可以得到不同的变形能，那么，按一个储存能量较多的次序加力，按另一个储存能量较少的次序解除外力，完成一个循环，弹性体内将增加能量。这与能量守恒原理相矛盾。由此推出，弹性体变形能大小与加载顺序无关。

以功能原理为依据，通过反证法论证该结论的正确性，原理基础可靠，结论可信。但作为对一个重要命题的科学证明，显得过于定性，尚缺乏严密的逻辑推理。

1.2 基于有限载荷梁弯曲特例的论证

根据文献［2］，变形能的大小，决定于受力的最终状态（亦即最终变形），与加载的先后次序（亦即变形的历史过程）无关。其在分析中，以一简支梁为例，梁上受集中力F1和力偶M2作用（见图1）。文献认为，如以A加载方式加载，求得的梁的弹性变形能等于C，以B加载方式（与A次序不同）加载，求得梁的弹性变形能也等于C。因A、B两种加载方式不同而变形能的结果相同，则，命题得证。

图1 简支梁

以变形能在某一种基本变形（证明中以梁弯曲变形为例）下的特殊数值关系为依据，以有限载荷（F1、M2）的特殊加载方式为特例来论证，使问题得以简化，分析思路清晰，便于读者理解。但由特殊到一般缺乏可靠的逻辑推理和依据。

其他文献尽管在形式和方法上有所不同，但其实质与上述两种情况基本一致［3－4］。

2 对弹性变形能大小与加载顺序无关的证明的建议

获得命题证明，要解决两个关键问题：一是如何体现出与加载次序无关，二是选择哪一个参数作为论证参量。现对该命题的证明提出几个可能的途径，以供进一步的研究。

第一种途径，从变形能的定义出发，利用叠加原理和力的独立作用原理，通过计算复杂应力状态下的变形能，尝试寻找一个在一般条件下证明与加载次序无关的方法。这里，要体现出是一般性，而非特殊。要体现出加载次序无关。

第二种途径，从功、能定义出发，利用功能原理，参照重力、弹性力等保守力做功与路径无关这一原理，尝试寻找证明方法。这里，弹性体的内力是保守力；保守力做功与路径（加载次序）无关；弹性变形能的大小等于在变形过程内力所做的功［5］。

第三种途径，从主应力和变形比能的定义出发，在微观概念（应力、比能）上，尝试说明复杂应力状态下的变形比能与加载次序无关；进而，通过积分运算计算整体变形能时，若由微观概念经过积分运算到宏观概念（弹性体的变形能）时，尝试说明变形能与加载次序无关。

3 结束语

提出目前文献对弹性变形能大小与加载次序无关这一命题多以假设或特例来论证而缺少严格逻辑证明，对这一命题现有的典型论证及其存在的不足进行了分析，从变形能结合叠加原理的方法，保守力的功、能结合功能原理的方法，主应力下的变形比能结合微积分方法等三种途径对该命题的证明给出了证明思路。

（责任编辑 吕春红）

［1］刘鸿文.材料力学［M］.第三版.北京：高等教育出版社，2002.

［2］林毓锜，陈瀚，楼志文.材料力学［M］.西安：西安交通大学出版社，1994.

［3］徐芝纶.弹性力学［M］.北京：高等教育出版社，2002.

［4］付宝连.弹性力学中的能量原理及其应用［M］.北京：科学出版社，2004.

［5］蒋智翔.材料力学［M］.北京：清华大学出版社，1985.

The Reflection on the Proving of the Irrelevance of the Size of Elastic Deformation Energy and the Loading Sequence

LI Hong－de

（Office of Academic Affairs of Zhongzhou University，Zhengzhou 450044，China）

It is important that the size of elastic deformation energy has nothing to do with the loading sequence，and it has the role of foundation in elastic theory，so that it needs Strictly logical proof.There are some assumes or exceptions in the literatures to elaborate，but it is still insufficient to be an important prove.This paper analyzes the related problems from different point of view，and puts forward some suggestions to prove this proposition.

elastic body；deformation energy；loading sequence；prove

O34

A

1008－2093（2015）01－0013－02

2014－11－15

李宏德（1966－），男，河南商丘人，教授，硕士，主要从事工程力学的教学与研究。