一类带吸附项双重退化奇异扩散方程的解

欧阳苗

(厦门理工学院应用数学学院,福建厦门361024)

一类带吸附项双重退化奇异扩散方程的解

欧阳苗

(厦门理工学院应用数学学院,福建厦门361024)

双重退化；扩散方程；存在性；唯一性

关于一般的双重退化奇异扩散方程

文献 ［1］详细给出了解的存在唯一性.当α＝0,方程 (1)为发展P-Laplace方程

式(3)中：Ω是RN中边界∂Ω充分光滑的有界区域；d(x)＝dist(x,∂Ω)；p＞1；q＞1；α＞0；φ∈C2,且存在δ＞0使得φ′(s)＞δ＞0.

1 弱解的定义及主要结论

根据文献 ［2］,方程 (3)在边界上退化,即使在有界区域上,边值问题依赖于热扩散系数消失比率α的大小.若0＜α＜p－1,给齐次Dirichlet边值条件：

若α≥p－1,方程 (3)的热传导问题不受边界条件的限制.初值条件总是必需的：

对于方程 (1),文献 ［1］得到了命题1和命题2.

命题2设α≥p－1,无需边值条件,方程 (1)(5)最多只有一个解.

本文证明带吸附项的双重退化奇异扩散方程 (3)有以下结论：

定理2设α≥p－1,无需边值条件,方程 (3)(5)最多只有一个解.

2 证明

为研究方程 (3),考虑它的正则化问题：

其中dε＝d＋ε,ε＞0.解的性质与发展P－Laplace方程类似,即：

且 (8)在迹的意义下成立.

故引理得证.

2.1 定理1的证明

由于α/(p－1)＜1,p－α＞1,存在常数β∈(α/(p－1),1)使得p－α/β＞1.由β＜1,p－α/β＞1,不难得知存在常数γ∈(1,p－α/β)使得βγ＜1.故

C是与ε无关的正常数.即∇uε在Lγ(QT)中一致有界,得证u满足边界条件 (4).

唯一性：设u和v均是初边值问题 (3)(4)(5)的弱解,u(x,0)＝v(x,0).由弱解定义,任何φ∈(QT)应满足：

将任意固定的s∈［0,T］,通过光滑化,选取X［0,s］(u－v)作为以上等式的检验函数,其中X［0,s］是［0,s］上是特征函数.于是

注意到φ∈C2,由微分中值定理,∃ξ∈Qs,使得φ(u)－φ(v)＝φ′(ξ)(u－v).又φ′＞0,由积分第一中值定理知,∃ξ0∈Qs,使得

s)＝v(x,s)对(x,s)∈QT几乎处处成立.

定理1得证.

2.2 定理2的证明

存在性已由引理1给出,以下证明唯一性.

成立.对任意固定s∈［0,T］,通过光滑化,选取X［0,s］φ(u)－φ(v)ξε作为上式的检验函数,这里X［0,s］是［0,s］上的特征函数,即

由微分中值定理,∃ξ∈Qs,使得φ(u)－φ(v)＝φ′(ξ)(u－v).又φ′＞0,由积分第二中值定理知,存在ξ1,ξ2∈Qs,使得

从而

定理2得证.

［1］汤林冰.边界退化的非Newton多方渗流方程 ［D］.厦门：集美大学，2014.

［2］YIN J，WANG C.Properties of the boundary flux of a singular diffusion process［J］.Chin Ann Math，2004，25B（2）：175-182.

［3］WU Z，ZHAO J，YUN J.Nonlinear diffusion equations［M］.New York：World Scientific Publishing，2001.

［4］KALASHIOKOW A S.Some problems of the qualitative theory of nonlinear degenerate second order parabolic equations［J］.Russian Math Surveys，1987，42（2）：169-222.

［5］谢清梅，詹华税.带有吸附项的边界扩散退化抛物方程解的性质 ［J］.集美大学学报：自然科学版，2012，17（1）：71-74.

［6］伍卓群，赵俊宁.非线性扩散方程 ［M］.长春：吉林大学出版社，1996.

［7］ZHAN Hua-shui.Solution to nonlinear parabolic equation related to p-Laplacian［J］.Chin Ann Math，2012，33（5）：767-782.

［8］DIBENEDETTO E.Degenerate parabolic equations［M］.New York：Spring-Verlag，1993.

［9］DAMBROSIO W.Multiple solutions of weakly-coupled systems with p-Laplacian operators［J］.Results Math，1999，36（1/2）：34-35.

Properties of Singular Solutions of the Doubly Degenerate〛Diffusion Equation with Adsorption

OUYANG Miao
（School of Applied Mathematics，Xiamen University of Technology，Xiamen 361000，China）

doubly degeneracy；diffusion equation；existence；uniqueness

O175.27

A

1673－4432（2015）05－0084－05

（责任编辑 李 宁）

2015－04－20

2015－09－21

欧阳苗 (1981－),女,讲师,硕士,研究方向为微分方程解的适定性.E-mail：mouyang＠xmut. edu.cn