基于多维极值参数的飞行风险量化评估方法

2015-06-19徐浩军裴彬彬陈怡然

系统工程与电子技术 2015年1期

关键词：尾流极值概率

薛源，徐浩军，裴彬彬，陈怡然

（1．空军工程大学航空航天工程学院，陕西西安710038；2．空军北京航空装备训练基地，北京100076）

基于多维极值参数的飞行风险量化评估方法

薛源1，徐浩军1，裴彬彬1，陈怡然2

（1．空军工程大学航空航天工程学院，陕西西安710038；2．空军北京航空装备训练基地，北京100076）

结合极值理论与多因素耦合系统建模仿真思路，提出了一种基于Copula的多维极值风险评估方法。针对飞行过程中的复杂随机性，基于蒙特卡罗法提取所需要的三维极值参数，验证了所提取极值参数具有和试验数据相同的分布形式，并构建了飞行风险发生的判定条件。在对一维极值参数符合广义极值分布的假设进行证明的基础上，提出了三维极值参数的四参数变权重（four adaptive weight parameters，FAWP），Copula模型利用自适应粒子群算法对一维和三维目标函数中的未知参数进行了辨识，对多种Copula辨识出的三维极值分布进行了拟合优度检验，结果表明FAWP Copula对三维极值参数分布形式的描述最为精确。利用FAWP Copula模型对尾流遭遇情形下的飞行风险概率进行了量化计算，所得指标可用来研究尾流场内的风险规避策略及算法。

多维极值参数；广义极值分布；Copula模型；自适应粒子群算法；飞行风险概率

0 引言

飞行风险的量化概率是一个重要的参考指标，对于飞机的适航性与飞行安全具有重要的意义。对由于硬件故障导致的飞行风险概率在ARP-4761［1］，ARP-4754［2］，MILHDBK-516B__［3］，STD-882D［4］及国军标GJB900-90［5］等国内外安全性规范中有明确的量化指标和计算方法，但大多是根据系统硬件故障实验样本进行可靠性指标的计算与分配，其考虑飞行过程中的不确定性和随机性因素较少，对于如何求出外部环境导致的飞行事故及飞行风险概率指标尚缺乏相关的理论与方法。而飞行风险一般是由多个因素耦合引起的。据统计，92%的飞行事故是由多个因子导致，平均每个事故有4．39个诱发因素，多的可达20个［6］。许多欧美科学家［6-9］经大量研究认为：事故的发生通常是由偶然的、耦合作用的不安全因素累积导致的。在上述这种多因素耦合、强非线性的情况下，现有国内外安全性规范［15］中的飞行风险评估理论与方法较难进行飞行风险的量化预测，因此如何考虑多因素耦合情形提取风险评估样本，并利用有限的样本数据对飞行风险进行量化评估是飞行安全研究的难点问题。

利用样本参数评估飞行风险概率首先需建立描述此样本分布的理论模型。由于飞行风险属于低频高危事件（如：地震、海啸、金融风险、飞行事故）［10-13］的范畴，所提取的极值样本一般具有厚尾特性，针对此种分布形式的描述目前较有效的方法为采用极值理论［14］。但多因素耦合复杂飞行情形下的风险概率的评估牵扯到多维极值参数及其相关性特征，一维极值理论的计算结论并不能平行推广到多维情形，因此需探索对多维极值参数空间进行描述的方法。目前对二维及以上的参数空间进行评估较常用的有效方法是构造参数间的相关性结构，如近些年比较流行的支持向量机对多维空间的分类，其实质就是构造相关性核函数。文中使用Copula理论［15-19］描述多维极值间的相关结构，由于Copula理论是专为评估极值分布而提出的，故在对极值相关性的描述上，Copula极值模型能较好地反映极值参数之间的联系和发展趋势，具有较高的精度，较适合应用于本文当中。

鉴于此，本文拟在考虑多因素耦合情形下的不确定性和随机性的基础上，提取多维极值参数。探索基于多元Copula的飞行风险概率量化评估与预测方法，拟解决一维极值模型的局限性，并利用Copula对尾流遭遇情形下三维极值参数的相关性进行分析。研究成果拟在飞行风险定量评估方法上有所创新，对现有的安全性规范进行补充，同时为飞行事故的预测与预防提供分析和检验的新方法。

1 基于蒙特卡罗法的三维极值参数提取过程

研究内外部因素的复杂随机性所需要的数据量较大，试飞数据与人在回路地面实验数据无法满足数据量的要求；加之模拟飞行风险具有较大的安全隐患且需要考虑条件较多，导致实验条件较为苛刻；因此文中基于蒙特卡罗法对飞行风险科目进行多次仿真实验以提取评估飞行风险所需要的飞行参数极值。极值参数提取实验系统基于某型飞机铁鸟地面试验系统改造而成，实物如图1所示。某型飞机铁鸟台是飞机的地面试验台，软硬件结构均与真实飞机相同，使用经过风洞实验与试飞验证后的气动参数，在各个科目下与真实试飞数据的误差不超过12%。

文中评估的飞行风险案例引自GJB 625A-2001［20］中固定翼飞机复杂科目里的第22项：着陆进场滚转。设置风险条件为：飞机在近地面的情况下进入前方飞机所产生的尾涡中，导致了飞行状态的突变，从而引发飞行风险的概率。在每次计算飞参数据之前，首先利用蒙特卡罗方法将内外部影响条件变量按照其出现频率进行随机抽样，需抽样的条件变量如表1所示。将抽样的变量数值作为检索条件从数据库中提取尾流数据、飞行员操纵行为特性参数以及其他影响飞行状况的条件数据，从而对每次计算迭代过程中所使用的参数产生影响，以此反映真实内外部环境影响下的随机性与不确定性。在对全部随机参数进行蒙特卡罗抽样后，将其动态代入到实验系统的飞行仿真计算迭代中，以对相关的气动参数及操纵信号产生具有多因素耦合效应的量化影响。飞机本体方程为基于四元数法的六自由度方程，微分算法为四阶龙格库塔算法。使用（real time workshop，RTW）将Simulink搭建的控制系统转化为实时系统Vx Works支持的C代码，将其下载到实时仿真机，时间步长为20 ms。

图1 提取极值参数实验系统

表1 需用蒙特卡罗法抽样的影响条件变量___________

2 三维极值参数的可信度验证

图2显示了在第61次的蒙特卡罗抽样仿真过程中，出现的飞参极值超限从而导致发生下文中定义的飞行风险。可以看出最初进入尾流场时由于尾流中上升气流的作用，高度和迎角均略有增加，随后由于滚转力矩的作用，飞机急剧滚转并高度下降。确定对尾流飞行风险发生影响最大的3个飞行参数（滚转角φ、下降高度ΔH、迎角α）。本次迭代的极值参数φimax＝75.61°，ΔHimax＝87.84 m，αimax＝7.91°。

图2 第61次迭代中的飞参图

因本文选取的近地近距尾流遭遇情形属于高风险科目，故不可能采用试飞验证，因此采用飞行员在回路的飞机地面铁鸟台实验数据作为验模数据。列出在i≤75时提取的前75个极值参数如图3所示，图3中红色标示即为i＝61时的极值参数。图4为使用上文方法提取的前75次极值参数以及在相同条件下进行的75次飞行员在回路铁鸟台实验数据的分位数图（quantiles-quantiles，QQ）图，可发现3种极值参数φmax、ΔHmax、αmax的QQ图均近似为直线，说明本文提取的极值参数和实验数据属于同一种分布类型。Kolmogorov-Smirnov（K-S）检验的结果亦表明3种极值参数的K-S值均小于0.1，而P值均大于0.25（即在比95%的置信水平低得多的情况下亦能通过检验），故可认为本文方法得到的数据与实验数据具有相同的分布类型，文中方法所提取极值参数的可信度较高，可以接受其作为评估飞行风险概率的样本。

图3 前75次的三维极值参数图

图4 极值参数的QQ图

3 定义尾流飞行风险发生的条件

在对分布模型进行辨识之前，首先对文中所涉及到的飞行风险进行定义如下：以超过95%的概率极易引起STD-882D［4］中所定义的风险范畴中评估值为1～5的灾难性飞行事故。即不能安全飞行和着陆的失效情况，引起飞机结构损伤并导致至少一人的伤亡。

对3个极值参数进行归一化处理。查某型飞机气动数据，极值参数迎角的临界值与Ma有关，例如在襟翼0°度时，当Ma＝0．2时，临界迎角αc为20．50°；而当Ma＝0．7，αc仅为10.90°。根据气动数据和提取极值参数时的Ma进行差值处理，得到归一化的极值迎角参数为αmax／αc（δf，Ma）。根据气动手册，滚转角的临界风险极值为φc＝85°，归一化的极值滚转角参数为φmax／8。重心下降高度的极值参数为ΔHmax，以机翼翼尖刚好触地时的状态作为风险发生临界点，极值参数ΔHmax的归一化公式为

式中，b为机翼展长，取值为38 m；φ和θ为极值参数ΔHmax对应时间点上的滚转角和俯仰角。给出判定文中定义的尾流飞行风险是否发生的公式为

4 验证一维极值参数符合广义极值分布

从图3和图4中可以看出极值参数的分布存在较明显的厚尾特性，又因为尾流飞行风险属于低频高危事件的范畴，故适合采用极值理论对此种分布形式进行描述。极值理论是关于随机变量序列最值渐近分布的理论，利用极值理论能够有效地对随机序列最值概率分布的尾部进行建模，用于描述极值样本数据序列分布的尾部特征。一维极值分布有固定的解析模型可以参照，但多维极值的联合分布除了与各分量的分布有关之外，更重要的是与变量之间的相关性有关。当极值参数的个数比较大时，单个分量的极值行为未必含有整个向量的联合极值行为。因此，本文采用适用于多维极值分布问题的Copula理论研究三维极值参数。

根据Copula的相关定理［15］：如果函数F是多元极值分布函数，则函数F的一维边缘分布必然属于广义极值（generalized extreme value，GEV）分布族。因此在对三维极值参数的分布形式与相关结构进行研究之前，须验证式（2）中涉及到的一维极值参数φmax、ΔHmax、αmax符合极值理论中的GEV分布形式（如式（3））。

4.1 辨识一维极值参数的分布形式

为验证式（2）涉及到的一维极值参数φmax、ΔHmax、αmax是否符合极值理论中的GEV分布形式（如式（3）），首先采用不同的分布模型来描述一维极值参数，较具有代表性的有广义Pareto（generalized Pareto，GP）分布、GEV分布、正态（normal，norm）分布、威布（Weibull distribution，Weibull）分布、指数（Exponential，Exp）分布、泊松（Poisson）分布。

式中，ξ∈R；μ∈R；σ＞0；1＋ξ（x－μ）／σ＞0。

设分布族的统一形式为F（x；θ1，θ2，…，θm），f（x；θ1，θ2，…，θm）为其密度函数，其中θ为未知参数。将一维极值参数的子样值升序排列得到（x1，x2，…，xn），构建目标函数

下一步需对目标函数进行辨识，在对最小二乘法、极大

（2）计算每个粒子对应的目标函数值。

式中，r1和r2是0～1之间的随机值；c1和c2是正的常数，c1＋c2≤4，一般情况下取c1＝c2＝2。

（5）由下式更新权重w：似然法、模式搜索算法、遗传算法（genetic algorithm，GA）等辨识方式进行对比测试的基础上，结合目标函数（如式（4））构造复杂及计算量较大的特点。选用较适合本文的优化环境的局部搜索能力强且收敛速度较快的粒子群算法［21］对目标函数进行辨识。但对于粒子群算法来说，它最初阶段给定的搜索范围通常在以后的整个搜索迭代过程中是固定的。随着迭代过程的进行，最初的搜索区间变得相对过大从而影响了找到最优解的速度和精度。而粒子群算法的改进算法自适应区间粒子群（adaptive range particle swarm optimization，ARPSO）可以动态地改变搜索区间，它的具体思路是根据迭代过程中变量的变化来减小动态搜索区间，从而使粒子的聚集区间越来越小进而获得高精度的全局最优值。

利用ARPSO对目标函数的辨识流程如下：

（1）将目标函数（如式（4））的未知参数θ＝（θ1，θ2，…，θm）视为一个m维的粒子，设置最初的搜索区间、粒子的数量和最大搜索迭代次数kmax。初始化迭代次数k为1。在此后每次迭代的搜索区间中随机地给定每个粒子最初的位置和速度。

式中，f表示粒子当前迭代的目标函数值；favg和fmin分别表示当前迭代中所有粒子的目标函数平均值和最小目标函数值。

（6）更新迭代次数k为k＝k＋1。计算变量θik＋1的平均值μki＋1和标准差σik＋1。设定标准差为＝σ＝（i＝1，2，…，m）。

（7）修正标准差

（8）随着迭代搜索的进行许多随机地分布在搜索区间内的粒子会往全局最优点方向移动，因此动态搜索区间会随着迭代搜索过程的进行而减小。利用下式来更新系统参数a：

式中，amin可以设置为趋近于0的非负值（如amin＝1.0× 10－5）；amax可由下式求得：

采用式（10）后，可以在迭代开始阶段设置比较大的动态搜索区间，而随着迭代的进行可以减小动态搜索区间的范围，有效地提高了收敛的速度和最优解的精度。

（9）根据下式设置动态搜索区间：

1，L和＋1，R分别代表变量θ＋1左右两边的标准差。

（10）如果全局最优点Pg不在动态搜索区间内，根据下式调整动态搜索区间：

（11）如果超出边界约束，根据下式计算得出标准差，从而设置更新的动态搜索区间：

表2 极值参数φmax的分布模型辨识结果

表3 极值参数ΔHmax的分布模型辨识结果

表4 极值参数αmax的分布模型辨识结果

4.2 GEV描述一维极值参数的准确性验证

在已知分布函数的未知参数后，根据原采样极值参数对现有分布函数进行拟合优度检验并作出概率密度图（见图5）。使用K-S方法的拟合优度检验结果如表5所示。

图5 极值参数的QQ图与概率密度图

______表5 极值参数的拟合优度检验________

观察图5可以看出，3个一维极值参数GEV分布的QQ图接近线性，其他分布的QQ图都不同程度地偏离线性趋势，其中Norm分布和GP分布偏离线性较大，从极值参数的概率密度图中亦可看出GEV对极值样本的描述最为准确。分析表5可以看出，GEV的K-S值小于其他模型，而P值亦远远大于其他分布模型，分析P值可知GEV在比95%的置信水平低得多的情况下亦能通过检验，而其他的分布模型甚至在99%的置信水平下都未能通过检验。

综上所述，GEV对极值参数的描述是极为准确的，尾流遭遇情形下一维极值参数的分布符合GEV分布。

5 利用Copula求取飞行风险概率

5.1 提出FAWP Copula

在验证了一维边缘极值分布符合GEV分布的基础上，继续研究三维极值参数的分布结构与相关性。设极值随机向量（φmax，ΔHmax，αmax）的分布函数为F（φmax，ΔHmax，αmax），边缘分布函数分别为符合GEV分布的F1（φmax）、F2（ΔHmax）和F3（αmax），根据Copula的相关定理［15］，则对于任意的（φmax，ΔHmax，αmax）∈Rd，一定存在一个Copula C，使得

文中的F1（φmax）、F2（ΔHmax）和F3（αmax）都是连续分布函数，故C是唯一的。由式（17）定义的函数C是一个边缘分布为GEV形式的三维联合分布函数。对于本文中三维极值参数的Copula模型选择，首先根据常用的二维Copula来构建，其通用形式如式（18）所示。利用式（18）构建的Copula模型主要有：Gumbel Copula（见式（19））、Frank Copula（见式（20））、Clayton Copula（见式（21））、GS Copula（见式（22））、Joe Copula（见式（23））。

根据三维极值的分布可以初步判定对上尾变化敏感的Copula模型能较好地反映本文中极值的分布情况。上文中的Gumbel Copula和Joe Copula均对上尾的变化较敏感，但其未知参数仅有2个，这使得在描述三维变量对相关性的各自影响程度时具有一定的局限性，故本文在Gumbel模型的基础上提出一种四参数变权重（four adaptive weight parameters-FAWP）Copula模型，如式（24）所示。

5.2 Copula模型辨识与描述精度分析

根据提取的极值参数对上文中Copula模型的未知参数进行辨识，具体步骤如下。

步骤1 根据定义，Copula的边缘分布函数即为一维极值的GEV分布函数，故将每组三维极值样本点x、Δ分别代入上文中已辨识出未知参数（未知参数见表2～表4）的式（3）中，极值参数最终的边缘累积概率为

记Ui；ξ，μ，σ）为变量ui，Vi（ΔHimax；ξ，μ，σ）为变量vi，Wi（；ξ，μ，σ）为变量wi。

步骤2 根据下式求出Copula的密度函数：

步骤3 根据变量ui、vi、wi的数值构建目标函数

H（u1，u2，…，un；v1，v2，…，vn；w1，w2，…，wn；θ1，θ2，θ3，θ4）＝

式中，Ai表示极值样本点在区间（u≤ui，v≤vi，w≤wi）内的个数。

步骤4 利用ARPSO算法辨识出目标函数（见式（29））的未知参数。

根据表6中6种Copula的辨识参数构建其三维的概率密度如图6所示，以此更直观地观察Copula模型的密度函数特征。从图中亦可以看出Gumbel Copula，Joe Copula，FAWP Copula对三维极值参数的厚尾特性描述较好，对比w＝0．85时极值参数（ui，vi）的边缘分布等高线图，亦可以看出FAWP Copula对三维极值参数分布的描述是合适的。对于本文中涉及到的Copula模型，分别应用AIC（Akaike information criteria）准则、BIC（Bayesian information criteria）准则、χ2检验法、K-S检验法评价其描述极值分布的准确程度，结果如表7所示。

表6 Copula模型的参数辨识表

图6 w＝0．85时Copula模型对参数（ui，vi）的描述

表7 Copula模型对极值参数的描述优度检验

从表7中可以看出，Frank Copula，Gumbel Copula，Joe Copula，FAWP Copula的P值大于显著性水平0．01，0．02，0．05，即这4种Copula在99%，98%，95%的置信水平下均能通过检验；而Clayton Copula甚至在99%的置信水平下亦未能通过检验；Gumbel Copula，Joe Copula，FAWP Copula在远小于95%的置信水平下亦能通过检验，3种Copula的AIC值、BIC值亦比较小，故完全可以接受这3种Copula作为三维极值分布的描述模型；但同时FAWP Copula的P值最大，χ2和K-S值最小，说明其对极值参数相关结构的描述更为准确。

5.3 极值参数相关性分析

利用FAWP Copula的二维形式构建极值参数见的相关函数如下：

式中，A（ω）是凸的；A（0）＝A（1）＝1；max｛ω，1－ω｝≤A（ω）≤1（ω∈［0，1］）；如果A（ω）＝1，则2个随机变量相互独立；如果A（ω）＝max｛ω，1－ω｝，则完全相关。

在变量ω从0～1变化的过程中，极值参数（φmax，ΔHmax）的FAWP Copula相关函数A（ω）的值在0.85～1之间变动，但始终不等于1，计算得知其相关程度在0.3左右；极值参数（φmax，αmax）的FAWP Copula相关函数A（ω）的值在0.93～1之间变动，其相关程度较弱，计算得知其相关程度在0.15左右；极值参数（ΔHmax，αmax）的FAWP Copula相关函数A（ω）的值在0.96～1之间变动，其相关程度亦较弱，计算得知其相关程度在0.1左右。

5.4 评估飞行风险概率

最终，根据构建的三维极值参数的FAWP Copula模型求出风险概率，如

根据表6辨识出的未知参数构建FAWP Copula的解析模型，求得在第一节提到的仿真特定点上的飞行风险概率Pr为0.0512。需注意的是，由于飞行事故的发生是一个多因素影响的不确定过程，不可能将所有内外部随机因素考虑完全，因此文献［1］与文献［4］中的事故率很大程度上是一个参考值。文中得到的飞行风险量化概率值在多数状况下亦是一个参考值，与真实值必然有一定的误差。但其在不同状况下飞行风险的横向对比分析、风险程度的归类划分中具有积极的意义。如：不同恶劣环境条件下或不同硬件故障条件下的风险大小对比，预定科目或任务的风险程度预测比较等。

6 结论

（1）结合人-机-环复杂系统建模方法与多元极值理论提出了一种量化评估飞行风险概率的新思路及新方法，并将其用到尾流场的风险概率量化评估中。首先考虑尾流遭遇情形下的不确定性与随机性因素，利用蒙特卡罗法对飞行情况进行大数据量的仿真实验从而提取多尾极值参数；而后在验证了一维的极值参数符合GEV分布的基础上，基于极值Copula模型描述了多元极值参数的分布结构和相关性，提出了三维极值的FAWP Copula模型，验证了FAWP Copula在辨识具有后尾特性的多维极值参数分布时相比于其他Copula模型有更高的精度。

（2）利用FAWP Copula量化地描述了尾流飞行风险概率，对于尾流场内的导航控制与风险规避，机场起降尾流安全间隔改进，环境风险可视化等研究方向有一定的参考价值，有助于提高航空器的运行安全性。

（3）文中思路亦可对其他内外部环境因素影响下的飞行风险概率评估提供参考。其中的飞行风险概率评估方法是对现有各类飞行安全规范［15］中风险评估理论的有效补充，对于飞行安全与适航性管理具有积极的作用。本文思路及方法不仅局限于尾流飞行风险的定量评估，也可以用来评估其他有飞参极值数据的情况，比如：危险科目下的试飞风险、复杂外部环境下的飞行风险、飞机软件或硬件故障下的飞行风险等等。

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Quantitative flight risk evaluation method based on multi-dimensional extreme parameters

XUE Yuan1，XU Hao-jun1，PEI Bin-bin1，CHEN Yi-ran2
（1.Aeronautics and Astronautics Engineering College，Air Force Engineering University，Xi’an 710038，China；2.Air Force Aviation Equipment Training Base，Beijing 100076，China）

A new flight risk assessment approach based on multidimensional extreme Copula is proposed using multivariate extreme value theory and coupled system modeling ideas．First，we extract three-dimensional wake extreme parameters required for assessing the risk using Monte Carlo method，verify the extracted extreme parameters and the test data has the same distribution form，then build a flight risk determination condition；Second，we propose the four adaptive weight parameters（FAWP）for three-dimensional extreme parameters based on the result that the one-dimensional extreme parameters meet generalized extreme value distribution；Third，adaptive range particle swarm optimization algorithm is used to identify unknown parameters of the one-dimensional and three-dimensional objective function．The results of fitting test show FAWP Copula model has higher accuracy than the other Copula models，so it is the most suitable model to describe the thick tail formed by multi-dimensional extreme values．At last，the risk probability in the situation of near-ground wake encounter is evaluated using FAWPCopula，and it has some certain reference values for research directions such as wake navigation control and risk aversion．

multi-dimensional extreme parameters；generalized extreme value distribution；Copula model；adaptive range particle swarm optimization algorithm；flight risk probability

O 213．2；V 328．5

10．3969／j．issn．1001-506X．2015．01．18

薛源（1986-），男，博士研究生，主要研究方向为飞行仿真、飞行安全。

E-mail：wowszxy＠163．com

徐浩军（1965-），男，教授，硕士，主要研究方向为飞行安全、飞行风险。

E-mail：xuhaojun＠xjtu．edu．cn

裴彬彬（1990-），男，硕士研究生，主要研究方向为飞行力学建模。E-mail：szxy1986＠126．com

陈怡然（1986-），女，讲师，硕士，主要研究方向为飞参数据采集。

E-mail：chenyiran＠126．com

1001-506X（2015）01-0109-08

网址：www．sys-ele．com

2013- 09- 26；