概率约束MIMO雷达稳健发射波形设计方法

2015-06-19张向阳廖桂生许京伟

系统工程与电子技术 2015年1期

关键词：波形约束雷达

张向阳，廖桂生，许京伟，曾操

（1．西安电子科技大学雷达信号处理国家重点实验室，陕西西安710071；2．南昌航空大学信息工程学院，江西南昌330063）

概率约束MIMO雷达稳健发射波形设计方法

张向阳1，2，廖桂生1，许京伟1，曾操1

（1．西安电子科技大学雷达信号处理国家重点实验室，陕西西安710071；2．南昌航空大学信息工程学院，江西南昌330063）

传统多输入多输出（multi-input multi-output，MIMO）雷达发射波形设计方法对传播矩阵误差敏感，导致难以得到最优的匹配波形，进而造成系统检测性能严重下降。针对此问题，提出一种基于概率约束的MIMO雷达稳健发射波形设计方法。该方法考虑最差情况的发生为小概率事件，基于输出信噪比（signal noise ratio，SNR）低于可接受水平的概率小于中断概率的约束条件，通过最大化输出信噪比设计最优波形。利用传播矩阵误差的概率分布特性，将概率约束转化为凸约束，从而将统计优化问题转化为确定性优化问题。该方法在传播矩阵存在误差情况下以高概率实现系统性能最优化。仿真结果表明所提方法能够提高输出SNR，具有较好的检测性能。

多输入多输出雷达；概率约束；波形设计；稳健算法；最优化

0 引言

多输入多输出（multi-input multi-output，MIMO）雷达作为一种新体制雷达，相对于传统相控阵雷达而言具有独特优势［1-2］，近年来一直是国内外学者关注的热点之一。传统相控阵雷达发射相干波形，而MIMO雷达利用波形分集技术可获得空间分集增益，有效改善系统性能［3］。与传统相控阵雷达相比，共置天线MIMO雷达具有更高的分辨率，更好的低速动目标检测能力［4］，因而在军事和民用中具有广泛的应用前景。

MIMO雷达波形设计主要有基于协方差矩阵的波形设计方法［5］、基于模糊函数的波形设计方法［6］以及扩展目标的波形设计方法［7］。本文主要考虑基于协方差矩阵的波形设计方法。MIMO雷达发射波形设计通常基于目标和环境的先验知识进行，而此先验知识通过估计得到，因而不可避免的存在估计误差。此时，波形设计难以实现最优匹配，造成系统检测性能下降。对角加载采样矩阵求逆算法（loaded sample matrix inversion，LSMI）［8］是常见的自适应稳健方法之一，该方法通过对采样协方差矩阵进行对角加载，可提高自适应算法的收敛速度和稳健性，但其加载量由经验参数给出，没有解析解。最近，最差性能最优化方法［910］利用求解约束问题得到该加载量的解析形式，大幅提高了系统的稳健性。最差性能最优化方法认为传播矩阵误差为确定的未知量，并提高系统最差情况下的性能，以保证系统的整体性能。实际中，最差情况的发生概率非常小，属小概率事件，因此，该方法过于保守从而导致不必要的性能损失。文献［11- 13］研究了基于统计分布特性的稳健波形设计方法。统计方法认为传播矩阵误差为一服从某一分布的随机变量，因此可以考虑信噪比低于可接受水平的概率小于中断概率的条件下，只需保证系统在传播矩阵误差分布概率较高的范围内正常工作即可。当然，当小概率事件发生时（传播矩阵误差超出上述范围），系统性能恶化。文献［14］提出了基于通信系统服务质量的概率约束方法，提高了系统的利用效率；文献［15］基于概率约束考虑了稳健自适应波束形成器和多用户MIMO接收器的设计问题，在阵列误差满足一定概率分布函数条件下，得到确定的无失真响应约束形式。文献［16］考虑在非精确传播矩阵条件下，提出MIMO通信系统中概率约束的波束形成方法。

针对传统MIMO雷达波形设计为传播矩阵误差敏感的问题，本文提出一种基于概率约束的MIMO雷达稳健波形设计方法。该方法考虑传播矩阵误差服从一定的统计分布形式条件下，保证系统输出信噪比（signal to noise ratio，SNR）小于可接受水平的概率小于中断概率，适当缩小传播矩阵误差约束范围，提高系统性能。该方法克服了传统最差性能最优化方法过于保守的缺陷，使得系统性能以高概率接近最优。同样，当传播矩阵误差超过一定范围时（小概率事件），系统性能难以保证。考虑传播矩阵误差服从一定的概率分布形式，因此可将概率约束条件转化为确定的凸约束，从而将统计问题转化为确定的凸优化问题，实现了系统整体性能的最优化。仿真结果表明所提方法提高MIMO雷达平均输出SNR和目标的检测性能。

1 系统模型

考虑发射、接收阵元数分别为Mt，Mr的共置MIMO雷达系统，设第i（i＝1，2，…，Mt）个发射阵元的发射波形可表示为si∈CN×1，其中N为快拍数，则发射波形可表示为表示转置。假设发射窄带信号，且传输过程中没有色散，则对于单个点目标，MIMO雷达接收信号矩阵Y∈CMr×N为

式中，β为目标复幅度，与目标雷达散射面积（radar cross section，RCS）成正比，其相位在［0，2π］之间均匀分布；θ为目标方位角度；H＝b（θ）aT（θ），H∈CMr×Mt为传播矩阵；Z表示加性白噪声，服从均值为0，相关矩阵为σ20IMr的高斯分布；a（θ）∈CMt×1和b（θ）∈CMr×1分别为阵列的发射及接收导向矢量：

式中，f0为雷达载频；τm（θ）（m＝1，2，…，Mt）表示第m个发射阵元的信号传播至目标所需要的时间；τ～n（θ）（n＝1，2，…，Mr）则表示信号从目标传播至第n个接收阵元所需要的时间。假设传播矩阵精确已知，目标幅度β＝1，平均输出SNR为

式中，（·）H表示共轭转置。由式（4）可知，平均输出SNR依赖于传播矩阵H和发射波形S。实际中，传播矩阵H只能通过估计得到，而估计不可避免的存在误差。假设估计得到的传播矩阵为^H∈CMr×Mt，真实传播矩阵H和估计传播矩阵^H满足如下关系：

式中，E为传播矩阵误差，其每列为服从独立同分布的复高斯变量，即：eij～N（0，σ2e）（i＝1，…，Mr；j＝1，…，Mt），σ2e为误差方差。由于估计误差的存在，传统基于传播矩阵的波形设计方法性能下降，难以实现最优匹配。

2 基于概率约束优化的稳健设计

本节考虑系统输出信噪比低于可接受水平的系统小于中断概率的条件下，通过概率约束方法实现最优波形设计，提高系统检测性能。同时考虑传播矩阵误差服从一定的概率分布形式，并通过松弛约束条件将概率约束问题转化为确定的凸优化问题，以实现高效求解。

将式（5）代入式（4），得SNR为传播矩阵估计值^H和传播矩阵误差E的函数为

式中，Rs＝SSH为发射信号相关矩阵。为简化式（6），利用特征值分解：

结构与式（7）类似的函数可对特征值的模Us及Dh分别最大化［17］。实际中估计得到的传播矩阵是先验已知的，因此，给定，最优解U*s满足，将最优解代入式（7），可得目标函数为

通过约束所有可能的传播矩阵误差条件下的系统性能，可保证最差情况下，系统正常工作。然而最差情况（传播矩阵误差较大）出现的概率很小。因此，考虑将约束的传播矩阵误差的范围适当缩小，保证系统平均输出SNR小于可接受水平的概率小于中断概率（系统能够以较大的概率正常工作）即可。即，给定系统中断概率pout，使得

式中，Pr｛A｝表示事件A发生的概率；γ为给定可接受的SNR水平，并且此时传播矩阵误差E的不确定范围相比传统最差性能情况要小。基于这一概率约束的波形优化问题可表式为

式中，第2个条件约束发射总功率；第3个条件保证发射相关矩阵Rs的正定性；第1个约束条件即所谓概率约束：输出SNR小于可接受水平γ的概率小于中断概率pout，换言之，该约束条件保证系统输出SNR以高概率超过γ；然而该约束为统计意义上的约束，需要大量样本，工程中难以实现。本文基于传播矩阵误差服从复高斯分布的假设，考虑将该概率约束转换为确定约束。由文献［18］可知，实现SNR最大化即可实现检测概率最大化，求解式（10）即可得检测概率最大的发射波形。

由二元高斯分布随机变量的性质可知，式（6）中的SNR服从非中心χ2分布。利用Rs＝UsDs和矩阵迹的有关操作，式（6）可表示为独立非中心（δi）分布随机变量Zi（i＝1，…，Mt）的组合［8］，即

自由度ni＝2Mr；矢量代表矩阵的第i列。由此，式（10）可写为

为了将式（12）中的概率约束转换为确定约束，令

则

从而

又

因此

由式（16）～式（19）可得

由此，本文设计可转化为如下概率约束下的优化问题：

至此，已得到概率约束的平均SNR最大化表达式，并将概率约束转换为确定约束，第3节中用仿真实验验证该方法性能。

3 仿真实验

基于收发共置MIMO雷达，分别对等功率加载波束形成方法［5］、最差情况波束形成方法［13］和本文方法的检测性能进行仿真分析，以验证本文方法的有效性。其中，发射和接收阵元数分别为Mt＝Mr＝4，目标方位角为0。中断概率pout＝10%，归一化SNR门限¯γ＝0.9。E的每列为服从独立同分布的复高斯变量：eij～N（0，σ2e）（i＝1，…，Mr；j＝1，…，Mt），误差方差0≤σ2e≤1。选择最差情况误差边界确保它能覆盖90%的不确定区域，即：Pr｛‖E2‖≤εworst｝＝90%，其中‖E2‖为误差模值，εworst为误差边界。仿真在传播矩阵独立同分布和相关衰落两种情况下进行，每个实验都进行了1 000次蒙特卡罗实验。

3.1 传播矩阵独立同分布

图1 传播矩阵独立同分布时平均输出SNR和曲线

为进一步考察该方法的性能，图3给出了本文方法和最差情况方法在＝0.2，0.5，0.9这3种误差方差下归一化SNR的直方图，图3（a）、（b）和（c）为本文方法结果，图3（d）、（e）和（f）为最差情况方法结果。σ2e较小时，两种方法的SNR分布都集中在0．9以上，以较高的概率分布在较高的SNR。随着误差方差的增加，概率约束方法SNR分布无明显变化，而对于最差情况方法来说，其SNR分布集中在更高的误差附近。说明随着误差方差的增加，概率约束方法仍然以较高的概率分布在较高的SNR，而最差情况方法输出SNR分布左移。

图2 传播矩阵独立同分布时SNR超过门限的概率和曲线

图3 传播矩阵独立同分布时归一化SNR直方图，＝0.2，0.5，0.9

图4 发射方向图θ＝0°，＝0.2，0.5，0.9

3.2 传播矩阵存在相关衰落

由于路径损耗，多径传播等原因会引起传播矩阵的衰落。下文的相关矩阵根据文献［9］的模型确定，固定天线间距d＝0.5λ，角度扩展δθ＝3°。

期望传播矩阵相关矩阵HHH的特征值为0.945 5，0.046 1，0.000 3。平均输出SNR与σe2的曲线如图5所示。由图5可知：随着σe2的增加，3种方法的输出SNR下降，概率约束方法的整体性能最佳，最差情况方法次之，等功率加载方法最差，并且在高不确定区域性能改进明显。对于大的方差，σe2＞0.9，概率约束方法和最差情况方法之间差别可达1.5 dB。说明在加大误差方差时，本文方法仍能保持较高的输出SNR，而最常情况方法SNR损失严重。图6给出了平均输出SNR超过设定门限的概率随σe2变化的曲线。图6的结果表明概率约束方法总能满足概率约束并且保证概率大于等于98%。相反，随着误差水平的增加，最差情况方法曲线下降明显。在＝0.9时二者差别可达70%。

为了进一步考察该方法的性能，图7给出了本文方法和最差情况方法在＝0.2，0.5，0.9这3种误差方差下归一化SNR的直方图，图7（a）、（b）和（c）为本文方法结果，图7（d）、（e）和（f）为最差情况方法结果。σ2e较小时，两种方法的SNR分布都集中在0．9以上，以较高的概率分布在较高的SNR。随着误差方差的增加，概率约束方法SNR分布无明显变化，而对于最差情况方法来说，其SNR分布集中在更高的误差附近。说明随着误差方差的增加，概率约束方法仍然以较高的概率分布在较高的SNR，而最差情况方法输出SNR分布左移。

图5 传播矩阵相关衰落时平均SNR和曲线

图6 传播矩阵相关衰落时SNR超过设定门限的概率和曲线

图7 传播矩阵相关衰落时归一化SNR直方图，σ0．2，0．5，0．9

4 结论

本文提出概率约束的MIMO雷达发射波形设计方法，在最大化平均输出SNR同时对传播矩阵估计误差稳健。该方法被建模为一个概率约束优化问题，所以接收端输出SNR低于设定门限的概率才能小于设定值，假设传播矩阵估计误差服从复高斯分布，将概率约束转化为一个凸约束。得到的凸优化问题可利用现有方法高效求解。仿真结果表明提出的方法的优于流行的最差情况方法。因为其优越的整体性能和稳健性，概率约束方法为传播矩阵信息不准确时的发射波形设计提供了一种备用方法。

［1］Sammartino P F，Baker C J，Griffiths H D．Frequency diverse MIMO techniques for radar［J］．IEEE Trans.on Aerospace and Electronic Systems，2013，49（1）：201- 222．

［2］Krieger G．MIMO-SAR：opportunities and pitfalls［J］．IEEE Trans.on Geoscience and Remote Sensing，2014，52（5）：2628- 2645．

［3］Qu Y，Liao G S，Li J，et al．Constrictive total least square improved algorithm in MIMO radars［J］．Systems Engineering and Electronics，2009，31（2）：319- 322．（曲毅，廖桂生，李军，等．MIMO雷达约束总体最小二乘改进算法［J］．系统工程与电子技术，2009，31（2）：319- 322．）

［4］Li C C，Liao G S，Zhu S L，et al．Study of subarray domain m-Capon method for MIMO radar［J］．Systems Engineering and Electronics，2010，32（6）：1117- 1120．（李彩彩，廖桂生，朱圣棋，等．MIMO雷达子阵级m-Caopn方法研究［J］．系统工程与电子技术，2010，32（6）：1117- 1120．）

［5］Friedlander B．On transmit beamforming for MIMO radar［J］．IEEE Trans.on Aerospace and Electronic Systems，2012，48（4）：3376- 3388．

［6］Antonio S G，Fuhrmann D R，Robey F C．MIMO radar ambiguity functions［J］．IEEE Journal Selected Topics Signal Processing，2007，1（1）：167- 177．

［7］Li J，Stoica P．MIMO radar signal processing［M］．New Jersey：Wiley，2009．

［8］Paulraj A，Nabar R，Gore D．Introduction to space-time wireless communications［M］．1st ed．Cambridge：Cambridge University Press，2003．

［9］Yang Y，Blum R S．Minimax robust MIMO radar waveform design［J］．IEEE Journal Selected Areas Communications，2007，1（1）：147- 155．

［10］Grossi E，Lops M，Venturino L．Robust waveform design for MIMO radars［J］．IEEE Trans.on Signal Processing，2011，59（7）：3262- 3271．

［11］Chung P J，Du H Q，Gondzio J．A probabilistic constraint approach for robust transmit beamforming with imperfect channel information［J］．IEEE Trans.on Signal Processing，2011，59（6）：2773- 2782．

［12］Zhou S，Giannakis G B．Optimal transmitter eigen-beamforming and space-time blocking based on channel mean feedback［J］．IEEE Trans.on Signal Processing，2002，50（10）：2599- 2613．

［13］Zhou S，Giannakis G B．Optimal transmitter eigen-beamforming and space-time blocking based on channel covariance［J］．IEEE Trans.on Information Theory，2003，49（7）：1673- 1690．

［14］Xin H，Chen J W，Wu Y C．QoS constrained robust MIMO transceiver design under unknown interference［C］∥Proc.of the 7th International ICST Conference on Communications and Networking，2012．

［15］Vorobyov S A，Rong Y，Gershman A B．Robust minimum variance adaptive beamformer and multiuser MIMO receiver：from the worst-case to probabilistically constrained designs［C］∥Proc.of the International Conference on Acoustics，Speechand Signal Processing，2006：977- 980．

［16］Du H Q，Chung P J．A probabilistic approach for robust leakage-based MU-MIMO downlink beamforming with imperfect channel state information［J］．IEEE Trans.on Wireless Communications，2012，11（3）：1239- 1247．

［17］Pascual-Iserte A，Palomar D P，Perez-Neira A I，et al．A robust maximin approach for MIMO communications with imperfect channel state information based on convex optimization［J］．IEEE Trans.on Signal Processing，2006，54（1）：346- 360．

［18］Mark A R．Fundamentals of radar signal processing［M］．New York：McGraw-Hills，2005．

Design of robust transmit waveform for MIMO radars based on probabilistic constraint

ZHANG Xiang-yang1，2，LIAO Gui-sheng1，XU Jing-wei1，ZENG Cao1
（1.National Lab of Radar Signal Processing，Xidian University，Xi’an 710071，China；2.School of Information Engineering，Nanchang Hangkong University，Nanchang 330063，China）

Conventional waveform design methods for multiple-input multiple-output（MIMO）radars are sensitive to transport matrix errors，so the optimal matched-waveform is hard to achieve，and the detection performance degrades dramatically．To mitigate this problem，a novel robust waveform design method is introduced for MIMO radars based on probabilistic constraint．In this method，the probability of the worst case is considered very small．Therefore，the probability of the output signal noise ratio（SNR）less than the acceptable level is constrained no more than the outage probability，and the optimal waveforms are designed to maximize the output SNR．Using the characters of statistical distribution of transport matrix errors，the probabilistic constraint is transformed to a deterministic convex constraint．So the statistical optimization problem is converted to a convex optimization problem．This method maximizes the performance with high probability under transport matrix errors．The simulation results show that the method increases the output SNR and detection performance．

multi-input multi-output（MIMO）radar；probabilistic constraint；waveform design；robust arithmetic；optimization

TN 958

10．3969／j．issn．1001-506X．2015．01．08

张向阳（1980-），男，讲师，博士研究生，主要研究方向为MIMO雷达技术。

E-mail：zxyky2002＠163．com

廖桂生（1963-），男，教授，博士，主要研究方向为雷达探测系统信号处理、空时自适应处理、天基预警和阵列信号处理。

E-mail：liaogs＠xidian．edu．cn

许京伟（1987-），男，博士研究生，主要研究方向为空时自适应处理。E-mail：xujingwei1987＠163．com

曾操（1979-），男，副教授，博士，主要研究方向为阵列信号处理、雷达地面动目标检测。

E-mail：czeng＠mail．xidian．edu．cn

1001-506X（2015）01-0042-06

网址：www．sys-ele．com