一道解析几何高考题的题源探究与拓展应用

徐晓宇

数学教科书中，很多例题和习题都有很深的背景，有进一步拓展其数学功能、发展功能和教育功能的可行性.教学中应尽力寻找高考题、模拟题在课本中的“影子”，充分挖掘教材中例题和习题的功能.

本文通过对2013年全国大纲卷数学理第8题的解法探究，寻找它在课本中的“影子”，追根溯源，并对题源进行简单的探究与应用.

一、考题呈现

（2013全国大纲卷理8）椭圆C：+的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2，-1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（ ）

A.[，] B.[，] C.[，1] D.[，1]

笔者在高三二轮复习中，将本题给学生测试，结果基础一般的学生没有很好的思路，基础较好的学生多数是通过取直线PA2斜率的临界值，求得此时点P的坐标，进而求出直线PA1斜率的临界值得到答案.这种方法虽然能解出此题，但运算繁琐.

由此可见这样一道高考题对普通学生的“杀伤力”有多大，同时也反映出我们在高考的复习中对教材的挖掘之浅，对课本例题和习题的研究浮于表面.

二、追根溯源

如图，设点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是-.求点M的轨迹方程.

分析：由题设易得点M的轨迹方程为：+=1（x≠±5）.

本题源于人教A版教材选修2-1第41页例3，在平时教学中，多数教师只是告诉学生解法，而缺少对本题的探究，学生会很快忘了此题，更不会在考试中应用.接下来，笔者将对本题作一些探究.

三、题源探究

由上例结果发现点M的轨迹是椭圆（除左右两个端点），其中点A，B恰是椭圆的左右顶点，直线AM，BM的斜率乘积kAM·kBM=

-=-=-.由此猜想椭圆上任意一点（除左右顶点）与左右顶点连线的斜率乘积为定值，引出探究1.

探究1：已知点A，B是椭圆+=1（a>b>0）的左右顶点，点M是椭圆上异于点A，B的任意一点.探究直线AM，BM的斜率之积的特点.

探究1：中点A，B为椭圆的左右顶点，若将点A，B换成椭圆的上下顶点引出探究2.

探究2：已知点A，B是椭圆+=1（a>b>0）的上下顶点，点M是椭圆上异于A，B的任意一点.探究直线AM，BM的斜率之积的特点.

由探究1，探究2发现，点A，B是长轴端点或是短轴的端点，椭圆上任一点M（异于点A，B）与这两点连线的斜率之积为定值-.若将点A，B一般化引出探究3.

探究3：已知点A，B是椭圆+=1（a>b>0）上关于原点对称的两个点，点M是椭圆上异于点A，B的任意一点.探究直线AM，BM的斜率之积的特点.

通过上述三个递进的探究，可得出如下结论.

结论1：若点A，B是椭圆+=1（a>b>0）上关于原点对称的两个点，点M是该椭圆上异于点A，B的任意一点.则直线AM，BM的斜率之积为定值，且kAM·kBM=-.

双曲线与椭圆的标准方程具有相同结构形式，对于双曲线也有类似的结论.

结论2：若点A，B是双曲线+=1（a，b>0）上关于原点对称的两个点，点M是双曲线上异于点A，B的任意一点.则直线AM，BM的斜率之积为定值，且kAM·kBM=.

四、拓展应用

应用结论1，2013全国大纲卷理第8题就迎刃而解了，大大简化了运算，提高了准确率和效率.上述结论有着广泛的应用，能有效地解决与顶点有关的一类问题.

例1.设椭圆+=1（a>b>0）的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点.

（1）若直线AP与BP的斜率之积为-，求椭圆的离心率； （2）略.

（2012年天津高考数学理19题）

分析：利用结论1得kAM·kBM=-，从而很快得到椭圆的离心率为.有必要指出的是，作为主观题，一定要先推导出这个结论，不能直接应用.类似的问题也出现在2011年江西高考理的第20题，只是背景为双曲线，利用结论2即可求解，读者可自行查阅.

例2.已知椭圆C：+y2=1的左右顶点分别为A，B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l∶x=分别交于M，N两点.求线段MN的长度的最小值.

分析：此题设点S的坐标不易求解，由结论1可得kAS·kBS=-，不妨设直线AS的斜率kAS=k（k>0），易得点M（，），N（，），从而得到MN=+≥.

例3.已知椭圆C：+

y2=1，点M1，M2，…，M5为其长轴AB的6等分点，分别过这五点作斜率为k（k≠0）的一组平行线，交椭圆C于P1，P2，…，P10，则直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积为（ ）

A.- B.- C. D.-

（浙江省五校2014届高三第二次联考数学理试题9）

分析：此题中点A，B为椭圆的左右顶点，联想到结论1，不妨将这10个点与点B联结，不难发现kAP=kBP，kAP=kBP，kAP=kBP，kAP=kBP，kAP=kBP

所以kAP·kAP·kAP·kAP·kAP·kAP·kAP·kAP·kAP·kAP

=kAP·kAP·kAP·kAP·kAP·kBP·kBP·kBP·kBP·kBP

=（kAP·kBP）·（kAP·kBP）·（kAP·kBP）·（kAP·kBP）·（kAP·kBP）

==-.

例4.已知椭圆C：+=1的左右顶点分别为A，B过点D（1，0）的直线MN与椭圆C分别交于点M（x1，y1），N（x2，y2），其中y1>0，y2<0，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.

分析：本题直接求解很难得出答案，但考虑到点A，B为椭圆的左右顶点，由结论1可知kAM·kBM=-，因为=，且kAM·kBM为定值，所以只需求得kAN·kAM为定值.又因为通过联立方程组，由韦达定理易得kAN·kAM=-，从而得到==2.

五、解题反思

近几年的高考试题与教材关联越来越密切，很多试题的背景都来源于课本又高于课本.作为一名高中数学教师，对课本例题和习题要有针对性地进行探索发现，并作相应拓展，在师生共同研究的氛围中提高学生分析问题、解决问题的能力.让学生在探究中感受知识的活力，在感悟中发展自己的思维与能力，真正做到走出题海，让学生感受到课本就是一个巨大的宝库，最终走向研究性学习.

编辑 薄跃华