割补法在高中立体几何解题中的应用研究

蔡磊

【内容摘要】在高中数学教学中，通过数学思维的培养，可以使学生达到融会贯通的要求，使数学学习更加轻松。高中立体几何中割补法是一种非常重要的方法，使用割补法能够降低题目的难度，快速有效的解决问题。本文立足于此，对高中立体几何中割补法的教学进行探讨。

【关键词】割补法  高中立体几何  应用研究

在高中立体几何中，割补法是一种特殊的方法，通过对已知几何体的割补，能够得到一个新的几何体，新的几何体和原来的几何体具有一定的联系，从而可以将所求问题进行转化，达到简化问题的目的。割补法中蕴含着构造的思想，也是对立统一哲学思想的反映，培养学生的割补思想，对于学生的数学能力和创新能力的培养具有重要的意义。

一、补形法

补形法就是将原有的立体几何图形补充一部分，形成一个新的立体几何图形，在新的立体几何图形中研究图形的体积等性质。一般使用补形法时，原有的立体几何图形的相知和数量求取方法比较复杂，通过补充后，新的图形和补充的部分数量关系求法比较简单。

1.构造正方体法

正方体是一个比较特殊有简单的几何体，通过割补法构造正方体，可以将复杂的问题简单化，可以找到解题的简单方法。

例1：过正方形ABCD的顶点A作PA⊥面AC，且PA=AB。求平面PAB和面PCD所成二面角。

分析：由于是正方形ABCD，PA垂直该面且PA=AB，这样构造出一个正方体，正方体的边长与AB长相同，所求的平面PAB和面PCD所成二面角，就是正方体的一条边所在的面和其所在的对角面所成的夹角，为45°。

例2：一个四面体的所有棱长都为

，四个顶点在一球面上，求此球的表面积。

分析1：正四面体ABCD的棱长为

，四个顶点都在球上，球的球心与四面体的中心相同，设ΔACD的重心为E，则球心在线段BE上，可以通过直角三角形求出，但是计算比较复杂。

分析2：将四面体ABCD补成正方体，补成的正方体与正四面体的外接球是同一个球，由于正四面体棱长为    ，所以正方体的棱长为1，外接球的半径为     ，所以球的面积为3π。

2.台体补成锥体法

台体与锥体具有一定的关系，台体可以通过锥体截取一部分得到，它们的性质相似，如果台体中有些性质比较难解答时，可以将台体补充一个小的锥体，得到一个大的锥体，使问题得到转化，从而找到简便的解答办法。

例3：已知三棱台ABC-A′B′C′的侧面A′ACC′是底角互余的梯形，且该侧面垂直于底面，∠ACB=90°，求证：三棱台另两个侧面互相垂直。

分析：要证明三棱台ABC-A′B′C′的侧面A′ABB′与侧面B′BCC′互相垂直，可以使用面面垂直判定定理或者证明这两个面所成的二面角是直二面角，但是两种方法只靠原立体图形是很难证明的，可以考虑将三棱台ABC-A′B′C′补成三棱锥P-ABC。

二、分割法

分割法是将几何体分割成若干个部分，利用整体与部分的关系来解决所求问题。使用分割法时，要将原有的几何体分割成比较常见的几何体，使原来所求的问题更加简单。

1.从整体分割出部分已知几何体

例4：已知一个斜三棱柱的ABC-A′B′C′的一个侧面A′ABB′的面积为S，侧棱CC′到侧面A′ABB′的距离为h，求该三棱柱的体积。

分析：根据三棱柱的体积公式，要求三棱柱的体积，要知道三棱柱的底面积和高度，但是这道题根据已知条件无法求出底面积和高。根据已知条件侧面A′ABB′的面积为S，侧棱CC′到侧面A′ABB′的距离为h，可以看作为将侧面A′ABB′作为底面，C为顶点的四棱锥C-A′ABB′的底面积和高，再根据四棱C-A′ABB′与三棱柱之间的关系求出三棱柱的体积。

2.把整体分割成几个相互关联的部分

例5：已知正四面体的棱长为a，求其内部任一点P到各个面的距离之和。

分析：由于PS是正四面体内部的任一点，具有不定性，无法确定点P到个面的距离。可以将P作为顶点，将P点与其他顶点连接，可以得到四个以P为顶点的三棱锥，P点到各面的距离是各个三棱锥的高，利用正四面体的体积是四个三棱锥体积之和的关系，就可以求出P点到各面的距离之和。

解：连接PA、PB、PC、PD，把正四面体ABCD分成四个三棱锥：三棱锥P-ABC、三棱锥P-BCD、三棱锥P-ABD和三棱锥P-ACD。设P到各个面的距离分别为h1、h2、h3和h4，由于是正四面体，各个面的面积都相等，设为S，则这四个三棱锥的体积分别为：  Sh1、

Sh2、 Sh3、 Sh4，正四面体的体积为

aS，所以有等式  Sh1+  Sh2+  Sh3+

Sh4=     aS，解得h1+h2+h3+h4=     a。

三、小结

割补法在高中立体几何中具有广泛的应用，立体几何中的许多定理和结论都来自于生活实践，与平面几何之间具有很重要的关联。所以在教学中要引导学生联想实际模型，加强学生的立体想象能力，使学生的头脑中形成立体几何图形的模型，对于割补法具有更形象的理解，从而提高学生解决立体几何问题的能力。

【参考文献】

[1] 黄永云、李素云. 巧用割补法解高考立体几何题[J].课程教材教学研究，2013.2（8）：17-19.

[2] 王建忠. 割补法及其应用[J].中学物理，2011.3（4）：43-45.

[3] 闫峰. 例析割补法在高中物理中的应用[J].中学物理（高中版），2014.32 （8）：82.

（作者单位：江苏省盐城市田家炳中学）