类比“分数”善学“分式”

李迎新

一、 分式的加减运算中，遇到异分母的分式加减运算时通分是关键，而通分的关键是找最简公分母，正确找到最简公分母是进行加减运算的前提.

例1 将下列分式通分：

，.

【分析】当分式的分母是多项式时，首先应考虑分解因式，然后再确定最简公分母，最后通分.

解：因为x2-2x=x（x-2），

x2-4x+4=（x-2）2，

所以，最简公分母是x（x-2）2.

所以，==，

==.

二、 分式的基本性质是解决分式相关问题的基础，学习时一定要牢记并能用其解决问题.

例2 不改变分式的值，把分式中的分子、分母的各项系数都化为整数.

【分析】分子中的分母是3和5，而分母中的分母是3和4，所以分子、分母同时乘3、4、5的最小公倍数60即可.

解：原式==.

三、 解分式方程去分母时，方程两边同乘的最简公分母是个含有字母的式子，这个式子有可能为零，此时对于整式方程来说，求出的根成立，而对于分式方程来说，分式无意义，这个根称为分式方程的增根. 因此解分式方程一定要验根.

例3 若分式方程-1=有增根，则m的值为（ ）.

A. 0和3 B. 1

C. 1和-2 D. 3

【分析】将分式方程去分母，求出x=m-2，此时，因为分式方程有增根，所以增根可能是x=1或者x=-2. 当x=1时，m=3；当x=-2时，m=0. 而当m=0时，原方程变形为x=x-1，与x=-2矛盾. 所以m的值为3.

【答案】D.

四、 分式方程无解包含两个方面，一是去分母之后的整式方程有解，但此解使原分式方程的分母无意义（即此解是分式方程的增根），从而导致分式方程无解；二是去分母之后的整式方程本身就无解，从而使原方程无解.

例4 若关于x的分式方程-1=0无解，则a的值为_______.

【分析】首先去分母将分式方程化成整式方程得（a-1）x=-2，然后分类讨论：

1. 当a-1≠0时，则x=-，因为原方程无解，故-=1，得a=-1；

2. 当a-1=0即a=1时，此整式方程无解，所以原分式方程无解.

【答案】1或-1

五、 分式是代数式的重要组成部分，因此中考也常常考查与其他知识点相结合的问题.

例5 已知x+=3，求x2+的值.

【分析】本题可以从两个方面（已知或结论入手）：

（解法一）

由x+=3，两边同时平方得x

+2=9，从而可得x2+=9-2=7.

（解法二）

x2+=x2++2x·-2x·

=x

+2-2

=9-2=7.

【答案】7.

例6 若=20，=10，则=_____.

【分析】本题可以从两个方面入手：

（解法一）

由=20可得a=20b；由=10可得c=b，然后把a和c的值代入即可求解.

（解法二）

把分式的分子分母同时除以b可得，=，然后把已知条件代入即可求解.

【答案】.

分式是分数的拓展延伸，在学习分式这一章的过程中，我们可以类比曾经学习分数相关知识的方法，在充分理解概念的基础上，熟练运用分式的相关性质来解决问题.

（作者单位：江苏省淮安外国语学校）