平行四边形易错题剖析

孙中兴

同学们在学习平行四边形时，是不是往往很简单的题都容易做错啊，这很正常，只要我们找出问题所在，就可以很轻松地避免出错. 那么，下面的几道例题中分析的问题你遇到过吗？请你用心看一看，“有则改之，无则加勉”.

一、 看题不仔细

例1 国家级历史文化名城——金华，风光秀丽，花木葱茏. 某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图1），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花. 如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是（ ）.

A. 红花，绿花种植面积一定相等

B. 紫花，橙花种植面积一定相等

C. 红花，蓝花种植面积一定相等

D. 蓝花，黄花种植面积一定相等

【错解】B

【剖析】审题不清是同学们在做题中经常遇到的问题，本题要求把错误的找出来，而不是正确的.

【正解】C

【点评】根据平行四边形的性质可知GH、BD、EF把一个平行四边形分割成四个小平行四边形，我们知道，一条对角线可以把一个平行四边形的面积一分为二，据此可从图中获得S黄=S蓝，S绿=S红，S （紫+黄+绿）=S （橙+红+蓝），根据等量相减原理知，S紫=S橙，依次就可找出题中的错误说法.

本题考查的是平行四边形的性质，平行四边形的一条对角线可以把平行四边形分割成两个全等的三角形，两条对角线把平行四边形的面积一分为四，同时充分利用等量相加减原理解题.

二、 性质糊涂用

例2 如图2，线段BD是平行四边形ABCD的对角线，E、F分别为BC、AD上任意一点，连接EF交BD于点P，判断PE=PF.

【错解】对.

【剖析】平行四边形的对角线互相平分，而此处线段EF不是平行四边形ABCD的对角线.

误用中心对称性质，将P点看作对角线BD的中点（对称中心）.

【正解】错.

【点评】本题主要考查同学们能否合理运用平行四边形的性质，熟练掌握中心对称与平行四边形的性质是解决本题的关键. 如果添加AF=CE这一条件，结果又会怎么样呢？请同学们自己思考.

三、 考虑不全面

例3 如图3，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线分BC为3.5 cm和4.5 cm的两部分，求平行四边形ABCD的周长.

【错解】∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE=∠BEA.

又AE平分∠BAD，

∴∠DAE=∠BAE，

∴∠BAE=∠BEA，

∴AB=BE，

∴平行四边形ABCD的周长为[3.5+（3.5+4.5）]×2=23（cm）.

【剖析】错解错在思维形成定势，忽略了在分成的两部分中，BE可以为3.5cm，也可以为4.5cm，因此本题有两解.

【正解】

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE=∠BEA.

又AE平分∠BAD，

∴∠DAE=∠BAE，

∴∠BAE=∠BEA，

∴AB=BE，

∴平行四边形ABCD的周长为[3.5+（3.5+4.5）]×2=23（cm）或[4.5+（4.5+3.5）]×2=25（cm）.

【点评】本题涉及分类讨论思想，这是数学中的一个重要思想.

例4 在?ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2，则?ABCD的周长等于_______.

【错解】20.

【剖析】本题是在未给出图形的基础上解题，首先要画出示意图形来分析、解决问题. 常见的错误是未进行分类讨论，此错误是只考虑一种情况，或者答题者只画了一种情况的图形.

【正解】12或20.

解：如图4所示：

∵在?ABCD中，BC边上的高为4，

AB=5，AC=2，

∴EC==2，AB=CD=5，

BE==3，

∴AD=BC=5，

∴?ABCD的周长等于20；

如图5所示：

∵在?ABCD中，BC边上的高为4，

AB=5，AC=2，

∴EC==2，AB=CD=5，BE==3，

∴BC=3-2=1，

∴?ABCD的周长等于1+1+5+5=12.

则?ABCD的周长等于12或20.

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，分类讨论是解题关键，画出清晰的图形是解决问题的基础.

同学们在学习平行四边形时，首先必须熟练理解图形的性质和判定，其次要具有基本作图能力，这样才能帮助我们解决问题. 同学们，学习中解题错误并不可怕，可怕的是我们知道自己的问题，而不去正视问题.

（作者单位：江苏省连云港市赣榆区外国语学校）