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圆面积公式推导难点及其解决之道的启示

2015-06-09俞正强

中国教师 2015年7期
关键词:曲直边形条线

俞正强

圆面积公式的推导不同于其他图形面积公示的推导,关键之处在于把一个圆形变成了长方形,这种变是学生很难接受的。

教师通常会通过上图的比较告诉学生:分得更多就会更像长方形,这就是无限接近的意思。但对学生而言,分得再细也还是曲线,只是由更短的曲线接起来而已。

数学专家会说,因为线是由点组成的,当分成点时,曲线就会变成直线。但问题是:由圆分割而成的始终是如下的形状。

当变成点,这个形状还有吗?长方形还在吗?

当然,对于这些想法,学生是不会讲出来的。因为他们已经习惯了听教师所说的。教师说变成长方形,就是长方形吧,何苦自寻烦恼!而这种想法正是教学的可怕之处。我们在教给学生知识的同时断了他们思想的冲动。因此,数学教师应该想办法纾解圆方(曲直)之间的纠结关系。

圆形变成长方形的困难究其根源是线的曲直问题。因此,在小学,有两节课可以为这个问题的纾解做比较好的铺垫。

铺垫一:线无曲直

小学四年级有一节课是“线的认识”。在这一节课中,很重要的一个内容是认识“线的基本属性为长短”。但在生活中,线除了有长短外,还有曲直、粗细之分。因此,要在这一课中让学生体会线无曲直、无粗细,明确曲直、粗细并非线的基本属性。

……

师:同学们,大家都说线分曲线和直线。

生:是的。

师:请大家说说你是怎样来区分曲线和直线的?

生:只要不直的就是曲线。

师:(两只手拿起一条线且拉直)同学们,这条线是什么线?

生:直线。

师:(两只手往中间靠拢)同学们,这条线是什么线?

生:曲线。

师:这条线一会儿是曲线,一会儿是直线,那这条线到底是什么线?

生:……(发呆了)

师:这条线变直、变曲的原因是什么?

生:是老师在拉,是老师的原因。

师:很好,那线自己是曲的,还是直的呢?

生:不知道,它自己只是线而已。

师:线自己有曲直吗?

生:没有。

整个过程颠覆了学生确定线有曲直的生活经验。因为在这一过程中,教师把生活中的线通过一个活动把它分为现象与本质。从现象上看,是有曲直的;从本质上看,却是无曲直的。这种关于现象与本质的讨论,是无法用语言给学生讲明白的。只有在活动中有所感悟,有所体会,有所惊诧,有所疑惑,恰是在惊诧和疑惑中,才会更好地体会关于线的现象与

本质。

原来的关于线有曲直的根深蒂固的观念被动摇,继而慢慢地树立起关于线无曲直的认识。线的曲直由“二”的状态变成“一”的状态。

铺垫二:圆是几边形

在小学五年级“圆的认识”这一课中,圆的特征是曲线。这是与之前学过的图形在外观上的最大不同。因此,对圆的认识,有必要在直线与曲线上再一次联结,使四年级“线的认识”一课中埋下的“线无曲直”的种子得到伸展。

材料:将正三边形每边的中间折断,会得到六边形,然后将每边的中间折断,得到十二边形,依次不断进行,得到下图。

问题讨论

问题1:以此不断,一直到最后,最后会是个什么图形?

结论:最后是一个圆。

问题2:圆是几边形?

观点1:圆是无数边形。

观点2:圆是一边形。

讨论1:为什么会认为圆是无数边形?

正三边形  正六边形  正十二边形  正二十四边形,

不断分边,越多越圆,因此,圆是无数边形。

讨论2:那圆是一边形的理由呢?

没有理由,一看就是一边。

讨论3:无数边是由观察推想出来的,是无数条直边。

一边形是观察来的,是一条曲边。那谁对呢?

结论:都对,无数条直边组成一条曲边。

这个结论非常重要,从小学四年级对曲直边线的模糊,到五年级的曲直融合,对线的认识有了渐趋完整的认识。

如前所述,公式推导的难点在于线的化曲为直,因为已经有了两个铺垫,即线无曲直,曲由直来,再来理解化曲为直,是十分自然而然的。

这个例子可以说明:

(1)圆形转化成长方形,从表象上来看,是形的问题,实质上是线的问题。线化曲为直的可理解决定形化圆为方的可理解。

(2)一节课的难点,如果之前不铺垫或在这几个点上略过,本质上说这节课的难点就会失去突破的机会。所谓的“突破”也只是学生无奈的记忆而已。

因此,数学课真的不是那么好上的。学生觉得数学难,可能真正难的是教师不知道今天的困难是由昨天的无知造成的。

(责任编辑:孙建辉)

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