《数字信号处理》中几种卷积教学探讨

2015-06-08周艳玲

现代商贸工业 2015年8期

周艳玲

摘要：

线性卷积，周期卷积和循环卷积是《数字信号处理》中的难点和重点。阐述了这三种卷积的概念及相互联系，将线性卷积和循环卷积联系起来，利用循环卷积的计算速度解决线性卷积表达的实际问题，并在matlab上验证了循环卷积的运算速度优势，有助于学生理解并掌握卷积的物理意义和使用方法。

关键词：

数字信号处理；线性卷积；循环卷积；Matlab

中图分类号：

文献标识码：A

文章编号：16723198（2015）08013601

1前言

线性卷积，周期卷积和循环卷积在《数字信号处理》的时域分析中起着重要作用，是《数字信号处理》的一个重要知识点，也是该课程的一个难点。

一般教学中容易存在以下三个方面的问题：（1）由于该知识点数学性比较强，学生难以完全听懂，教学效果不好。（2）几种卷积概念比较抽象，即使上课能听懂，而让学生自己动手求解却又不知从何下手。（3）理解这几种卷积的物理意义和关系非常有必要，而学生难以将这几种卷积前后衔接，融会贯通。

本文从这几种卷积的定义出发，分析其概念及联系，探讨其教学方法，促进学生对该知识点的理解和掌握。

2线性卷积、周期卷积及循环卷积的定义

信号通过线性时不变系统的输出为信号与系统函数的线性卷积。所以线性卷积反映了线性系统对输入信号的作用方式，是线性系统分析与设计的基础，它广泛地应用于通信、控制、信号处理等领域中。线性卷积的定义如下：

yL（n）=∞k=-∞x（k）h（n-k）=x（n）*h（n）

（1）

线性卷积对参与卷积的两个序列长度无要求。虽说表达式中卷积的求和范围为-∞到+∞，实际中的求和范围根据序列长度有关。设序列x（n）长度为M，h（n）的长度为N，求和变量k的取值范围取决于x（k）和h（n-k）的长度和取值范围，并且最后得到的卷积结果即序列yL（n）的长度取决于x（n）和h（n）的长度和取值范围，所以该线性卷积的长度M+N-1。

由于计算机的发展，连续信号离散化为数字信号并由计算机处理是技术发展的必然。在离散情况下，由于离散傅里叶变换隐含的周期性，因而引入了周期卷积和循环卷积。周期卷积需要就两个序列先周期延拓，然后将一个序列翻转，再来移位、相乘，在主区间0～N-1求和。周期卷积的定义如下：

y（n）=N-1m=0x（m）h（n-m）

（2）

所以周期卷积要求两个序列是周期相同的周期序列，求和范围是一个周期，其结果仍是周期序列，且周期与原来的两个序列的周期相同。

由于多个周期的序列携带的信息与其主值区间相同，对周期卷积取主值区间的值，即可得到循环卷积。其定义如下：

3循环卷积与线性卷积的关系

线性卷积反映了线性系统对输入信号的作用方式，具有重要实际意义。但由于线性卷积是对无限项求和，不是闭合解的形式，不便于用计算机运算；而循环卷积是对有限项求和，特别适合于计算机运算；同时计算循环卷积可利用FFT来实现，在速度上比直接计算线性卷积要快得多。鉴于以上三点分析，通过循环卷积来计算线性卷积具有较大的优越性和实用性。如果找到线性卷积和循环卷积相等的条件，然后利用FFT计算循环卷积，即可获得线性卷积的结果。

设序列x（n）长度为M，h（n）的长度为N，设法构造这两个序列x（n）和h（n）的循环卷积，使其果与线性卷积相同。在x（n）后面补充N-1个0，使x（n）长度变为；在h（n）后面补充M-1个0，使h（n）长度也为M+N-1。先将x（n）和h（n）进行周期延拓，周期为M+N-1，再求周期卷积。

可见该周期卷积是x（n）和h（n）的线性卷积yL（n）的周期延拓，而以M+N-1为周期的周期延拓刚好没有发生混叠，对该周期卷积取主值得到的循环卷积正好等于线性卷积。

yc（n）=x（n）h（n）=y（n）RM+N-1（n）

=M+N-1k=0x（k）h（n-k）=yL（n），0≤n≤M+N-1

（6）

所以对于长度为M和N的两个序列，当L≥M+N-1时，L点循环卷积等于线性卷积。

4利用FFT求线性卷积

根据循环卷积的性质，两个序列时域循环卷积对应的频域为两序列离散频域直接相乘。可以利用FFT及IFFT来快速求解循环卷积。其过程如图1所示。

由此可见，在满足循环卷积和线性卷相等的条件下，用FFT和IFFT来计算循环卷积比直接从时域计算线性卷积快速很多。当序列长度更大的时候，优势将会更加明显。

5结论

分析了线性卷积的实用性和循环卷积的计算机处理优势，阐述了两者相等的条件，利用循环卷积来计算线性卷积，可以提高运算速度，解决实际问题，并在在Matlab上验证了循环卷积的运算速度优势。有助于学生理解卷积的物理意义并掌握卷积的计算方法。

参考文献