高中数学求曲线方程新授课的一点想法

宋少奎

关键词：高效；地理课堂；教学质量

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）03-107-02

在讲授如何求曲线的方程时我选了这样一道例题：

例：已知平面上的线段BC的长为 ，动点A位于线段BC所在直线的同一侧，且向线段BC所张的角恒为 ，动点A的轨迹是否有有限长度？若有，你能求出其长度吗？

课堂实录：

经过思考以后，同学甲：我想到了是跟圆有关的问题，求出的应该是圆的一段弧长，他说我们可以这样设想，当点A向线段BC所张的角是 ，则点A在以BC为直径的圆上，但现在点向线段BC所张的角恒为 ，则点A所对的弦BC不是直径，如图，可知点A的轨迹是以2为半径的圆周的 ，点A的轨迹有限长度是 。

同学乙：我有不同的想法，在ΔABC中用正弦定理， = ， ，说明ΔABC的外接圆的半径是2，即可计算得出。

教师提示：刚才两位同学思考的都很好，它们都是从纯几何的角度思考，我们前面学习了直线和圆，知道可以通过方程研究直线和曲线，我们能否求出点A的方程，然后通过方程研究呢？这就是我们解析几何的核心，坐标法。

同学丙：以BC所在直线为 轴，BC的中垂线为 轴，建立平面直角坐标系，设A（ ），其中 ，B（ ），C（ ），找出动点A所满足的等量关系，在ΔABC中用正弦定理， ，但是化简的时候很复杂，不知怎样解决。这时教师提示，我们能否这样想， 不直接代入坐标，而是整体处理，以避免繁琐的根号，那 与哪些量有联系呢？同学们陷入了沉思，这时同学丁打破了沉默，可以想到向量数量积， ，又 ， 代入上式得到一个恒等式，无法求出点A的方程，这时教师要引导学生不要慌张，碰壁的过程是正常的，关键是如何寻求新的思路。同学们再次陷入沉思。教师提示： 除了与向量数量积以外，还与哪些量有关呢？同学丁：老师我想到了，还与三角形的面积有关， ，代入可得点A的轨迹方程是 。若点A在 轴的下方，则点A的轨迹方程是 。它们所表示的弧长都是圆的周长 。这时有个平时喜欢动脑的同学举手发言：老师，这道题我还有一种全新的解法，至此，整节课被推向高潮。是这样的， ∠ ∠ = ， ， ， ，化简得： 。

至此，我们比较了两种不同的方法，第一种用几何法求解很简洁，第二种用代数的方法求解，过程明了，稍显复杂。后记：这是解析几何中求轨迹方程的第一节课，没有直接采用课本的例题。有三个用意。第一，对于几何问题同学们最直接的想法，应该是用几何的思维解决几何问题，这跟他们的学情有关，也就是说同学们对于采用纯几何方法还是坐标法，应该有个选择的博弈的过程，通过选择比较，才会有更深刻的认识，而不是一上来就直接教他们建系求方程，实际上，比较以后，同学们有两个体会，以后碰到类似问题，他们会想到纯几何法，而且纯几何法有时候比坐标法来的快，做的容易。比如本题就是如此。如果纯几何法不能解决的时候可以采用坐标法。这样同学们的思维就打开了。第二，一旦采用坐标法，对于建系的选择应该也让学生有个心理博弈的过程，本题可能有学生不是采取这样的建系方法，让他们求出方程，跟本题的建系方法做个比较。指出我们建系的优劣取决于求出的方程是否简洁。以便以后碰到类似题目有个选择的过程。第三：坐标法五步中着重在第二步做文章，就是寻求动点所满足的等量关系，本题中的几种想法都是同学们想出来的，经过同学们的展示，大家对这一步有了更深刻的认识。