圆盘形压电陶瓷复合变压器的等效电路和特性

倪 浩，林书玉

（陕西师范大学物理学与信息技术学院，陕西西安710119）

圆盘形压电陶瓷复合变压器的等效电路和特性

倪 浩，林书玉＊

（陕西师范大学物理学与信息技术学院，陕西西安710119）

研究了由压电陶瓷圆盘，金属环，压电陶瓷环组成的圆盘形压电陶瓷复合变压器。推导了这种压电变压器的等效电路，输入阻抗，共振、反共振频率方程和电压增益方程。分析计算了压电变压器尺寸变化对频率、有效机电耦合系数的影响。研究了负载变化对压电变压器频率、有效机电耦合系数的影响，探讨了电压增益与负载的关系。研究表明，变压器随壁厚比的升高共振和反共振频率皆升高，有效机电耦合系数降低；随负载的升高，共振、反共振频率及电压增益升高，有效机电耦合系数降低。

复合压电变压器；等效电路；优化设计

PACS：43.35.+d；72.55.+s

压电变压器是一种新型的固体超声功率电子器件，其利用压电陶瓷材料的正压电效应和逆压电效应完成机械能与电能的相互转换，从而实现电压的高低变换。它具有许多传统的电磁式变压器所不具有的优点如：体积小、重量轻、升压比大、转换效率高，价格便宜、安全可靠、适合大批量生产、高效节能等，故具有很高的应用价值。目前，压电变压器主要分为三类：Rosen型、厚度振动型及径向振动型［1－3］。

Rosen型压电变压器结构简单，制作容易，升压比高，特别适合于驱动高电压小功率器件，比如驱动冷阴极荧光灯CCFL可为手机、笔记本电脑的LCD显示器提供背光源。厚度振动型压电变压器的特点是功率较大、工作频率高，能够降低电压，多用于高频开关电源中。径向振动型压电变压器是一种处于发展中的新型压电变压器，这种压电变压器的突出优点是结构简单，制作方便，能以很小的尺寸实现低频和大功率，可用在电子整流器、适配器及DC／DC变换器中［4－8］。

本文针对径向振动压电式变压器，提出了一种新型的复合式压电陶瓷变压器系统，通过推导复合径向压电变压器的等效电路，得到了压电变压器的共振、反共振频率方程以及电压增益方程，并且讨论了压电变压器尺寸、负载的变化对压电变压器共振、反共振频率，有效机电耦合系数、电压增益的影响关系。依照本文方法，可以研究多层径向复合圆环压电变压器的特性，对径向振动压电变压器的设计及实际应用起到一定的指导作用。

1 复合压电陶瓷变压器理论分析

图1 圆盘形复合压电陶瓷变压器Fig.1 Piezoelectric ceramic composite disk transformer

复合新型压电变压器如图1所示，内外层分别是纵向极化。半径为R1的压电陶瓷圆盘和半径为R3的压电陶瓷圆环，中间层为半径为R2的金属铝环。压电变压器高度h≪R1、R2、R3，在内层施加一个纵向的驱动电场E3来激励此压电变压器，其中Vo为输出端，Vi为输入端，PZT为压电陶瓷材料。

1.1 压电陶瓷圆盘的等效电路

复合压电陶瓷变压器的内层压电陶瓷圆盘如图2所示，h、R1分别为其厚度和半径，Fr1、vr1分别为压电圆盘径向外力和振动速度，P为极化方向，当h≪R1时，压电陶瓷圆盘可看作薄圆盘。在此条件下可以得到电学参量和机械参量的关系［9］：

图2 厚度极化压电陶瓷圆盘Fig.2 Diagram of thickness polarized piezoelectric ceramic disk

图3 压电陶瓷圆盘径向振动机电等效电路Fig.3 Electro－mechanical equivalent circuit of piezoelectric ceramic disc in radial vibration

1.2 金属环的等效电路

图4为金属圆环的示意图，其中h、R1、R2分别表示金属环的高度和内外半径，Fr1、Fr2、vr1、vr2分别为金属圆环径向振动内外表面径向应力和内外表面振动速度，在平面径向振动条件下，可以得到径向应力和径向速度的关系［10］：

图4 径向振动的金属环Fig.4 Diagram of a metal thin circular disc in radial vibration

其中，Z1m，Z2m，Z3m分别为机械阻抗。Zr1＝ρVrSr1，Zr2＝ρVrSr2，Sr1＝2πR1h，Sr2＝2πR2h，其中Sr1、Sr2分别是金属环内表面积和外表面积。Vr＝，Vr是声波在金属环中传播的速度，E和v分别是金属环的杨氏模量和泊松比，波数k＝ω／r，ω是角频率。由（3）—（4）可以得到金属环的径向振动等效电路如图5所示，其中的阻抗表达式为（5）—（7）。

图5 径向振动的金属环机电等效电路Fig.5 Electro－mechanical equivalent circuit of a thin metal circular disc in radial vibration

1.3 压电陶瓷圆环的等效电路

复合压电陶瓷变压器的外层压电陶瓷圆环如图6所示，其中P表示极化方向，其中h、R1、R2分别表示金属环的高度和内外半径，Fr2、vr2和Fr3、vr3分别表示压电陶瓷圆环径向振动内表面径向应力、振动速度和外表面应力和振动速度。在平面径向振动条件下可以得到电学参量和机械参量的关系［11］：

图6 厚度极化压电陶瓷圆环Fig.6 Diagram of thickness polarized piezoelectric ceramic ring

其中，I31和V31是纵向通过的电流和电压，Fr2＝n1Fr2，Fr3＝n1Fr3，vr2＝vr2／n1，vr3＝vr3／n2，n1＝（πkr0R3／2），n2＝（πkr0R2／2），V31＝E3h，kr0＝， ω＝2πf；Vr0＝是声波在压电陶瓷圆环中径向传播的速度，；压电陶瓷圆环机械转换系数是压电陶瓷圆环的静态电容，是压电陶瓷圆环的表面积。Z1p、Z2p、Z3p是三个机械阻抗，具体表达式为

其中Z02＝ρ0Vr0Sr2，Z03＝ρ0Vr0Sr3，Sr2＝2πR2h，Sr3＝2πR3h。由（8）、（9）、（10）可以得到压电陶瓷圆环的等效电路如图7所示。

图7 压电陶瓷圆环径向振动机电等效电路Fig.7 Electro－mechanical equivalent circuit of piezoelectric ceramic disc in radial vibration

1.4 压电陶瓷复合变压器的机电特性分析

根据径向应力和速度连续的边界条件和图3、图5、图7所示等效电路，可以得到在开路条件下复合式压电变压器等效电路如图8所示。

从图8中可知，有2个电学终端和4个机械终端，两条粗实线将压电变压器分为三部分：压电陶瓷圆盘部分，金属圆环部分，压电陶瓷圆环部分。当压电陶瓷圆环处于自由状态，即Fr3＝0，此时该端口机械自由，电学短路。选取压电陶瓷圆环为输入端，压电陶瓷圆盘为输出端，假设输出端负载为Z0＝R+jX。从图中我们可以得到此压电变压器的输入电阻抗为

图8 压电陶瓷复合变压器等效电路Fig.8 Electro－mechanical equivalent circuit of piezoelectric ceramic composite disk transformer in radial vibration

其中复合压电变压器的机械阻抗Zm＝Z3p+，带负载的压电陶瓷圆盘和金属圆环的总机械阻抗，带负载的压电陶瓷圆盘的输入阻抗当R＝∞时，即输出端开路，由式（13）可以得到复合径向振动压电变压器的共振频率方程和反共振频率方程分别为

结合图8可以得到径向振动压电陶瓷变压器的电压增益为

其中，Z1＝Zr+Z1m，Z2＝Zmr。

2 复合压电陶瓷变压器的特性参数与其几何尺寸及负载的关系

压电陶瓷变压器是一种频率选择性器件。当系统共振时，变压器的性能处于最佳状态。压电变压器的机电性能与其工作频率、几何形状和尺寸以及负载状态等有关。利用上面分析中得到的压电陶瓷变压器的参数表达式，对压电陶瓷变压器的共振频率、有效机电耦合系数以及电压增益比与其几何尺寸和负载的依赖关系进行了分析及探讨。在以下的分析中，选取压电材料为PZT－4，金属材料为铝，它们的具体参数如下

2.1 金属环壁厚对复合压电变压器的影响

固定复合式径向振动压电变压器内部压电圆盘的半径R1＝0.01m，外部压电陶瓷圆环的外半径R3＝0.03m，厚度h＝0.005m。令半径比τ＝，τ变化区间为［0，1］，在负载开路（R＝∞时），得出τ与一阶，二阶共振，反共振频率的关系图如图9、图10所示，从图可以得到，在负载开路的条件下，随着金属环壁厚的增加，复合式压电变压器的共振频率和反共振频率呈上升趋势。这也意味着，相同半径下，这种带有金属环的压电变压器共振频率大于没有金属环的变压器。

图9 一阶模态频率随τ的变化曲线Fig.9 Relationship between the fundamental radial resonance and anti－resonance frequencies and the radius ratio

图10 二阶模态频率随τ的变化曲线Fig.10 Theoretical relationship between the second radial resonance and anti－resonance frequencies and the radius ratio

压电器件的有效机电耦合系数是反映压电材料机械能与电能相互转化的重要参量，根据有效机电耦合系数的定义

其中fa是反共振频率，fr是共振频率。可以得到有效机电耦合系数随金属环壁厚变化的趋势如图11、12所示。

图11 一阶模态有效机电耦合系数随τ的变化曲线Fig.11 The relationship between the effective electro－mechanical coupling coefficient and the radius ratio in first－order model

图12 二阶模态有效机电耦合系数随τ的变化曲线Fig.12 The relationship between the effective electro－mechanical coupling coefficient and the radius ratio in second－order model

从图中可知，随着τ的增加，一阶模态下机电耦合系数呈下降趋势，而对于二阶模态，变压器的有效机电耦合系数存在一个最大值。

2.2 负载对复合压电变压器的影响

固定复合式压电陶瓷变压器的尺寸，R1＝0.01 m，R2＝0.02m，R3＝0.03m，h＝0.005m。在负载开路的条件下（R＝∞时），由式（14）—（16）可以得到输入阻抗和频率的关系（图13）以及电压增益与频率的曲线（图14）。

图13 开路时电阻抗与频率的关系Fig.13 The relationship between electrical impedance and resonance frequency under open circuit conditions

图14 开路时电压增益与频率的关系Fig.14 The relationship between transformer ratio and resonance frequencyunder open circuit conditions

从图13和图14中可以看出，在负载开路的条件下，电压增益的最大值对应开路时的共振频率。

图15是共振频率、反共振频率随负载变化的趋势，从图中可以看到随负载的增大，共振频率、反共振频率均升高。图16表示有效机电耦合系数与负载的关系，随着负载的增大，有效机电耦合系数减小。在尺寸确定的条件下，可以得到在共振条件下电压增益和负载R之间的变化曲线如图17所示。

图15 共振反共振频率和负载变化的关系Fig.15 The relationship between the resonance，anti－resonance frequencies and the load

图16 有效机电耦合系数和负载变化的关系Fig.16 The relationship between effective electro－mechanical coupling coefficient and the load

图17 在共振条件下电压增益和负载R之间的变化曲线Fig.17 The relationship between transformer ratio and load under resonance conditions

可以看出随着负载的升高，复合式径向振动压电变压器的电压增益逐渐升高。

3 结论

本文研究了由压电陶瓷圆盘、金属铝环以及压电陶瓷圆环组成的复合式压电陶瓷变压器的等效电路，推导出电压增益、共振、反共振频率方程。研究了金属环壁厚和负载对变压器共振频率，反共振频率，有效机电耦合系数，电压增益的影响。结果表明，在开路条件下，随着金属壁厚的增加，复合压电变压器的频率升高，有效机电耦合系数降低；当金属环尺寸确定，复合变压器在共振频率附近获得最大电压增益。在负载条件下，随着负载的增大，复合变压器频率升高，电压增益升高，有效机电耦合系数降低，所以存在一个最佳尺寸使得有效机电耦合系数和电压增益达到一个最佳状态，这为复合压电变压器的设计提供了理论基础。同时，本文提供了一种研究复合压电变压器的方法，为研究不同形状的复合压电陶瓷变压器提供了理论依据。

［1］黄以华，周康源，施俊，等.径向振动压电变压器的等效电路模型及特性研究［J］.电子学报，2002，30（11）：1585－1588.

［2］Walter G C.Piezoelectricity［M］.Berlin：Springer，1946：69－79.

［3］黄涛，文忠，谌青青，等.径向振动压电变压器的研究进［J］.电子元件与材料，2011，30（3）：71－74.

［4］白辰阳，桂治轮，李龙土.压电变压器的研究和开发进展［J］.压电与声光，1998，20（3）：175－179.

［5］张福学，孙慷.压电学（下册）［M］.北京：国防工业出版社，1984：426－449.

［6］林书玉，鲜小军.功率超声换能振动系统的优化设计及其研究进展［J］.陕西师范大学学报：自然科学版，2014，42（6）：31－39.

［7］Baker E M，Huang W X，Chen D Y，et al.Radial mode piezoelectric transformer design for fluorescent lamp ballast applications［J］.IEEE Transactions Power Electron，2005，20：1213－1220.

［8］李果，林书玉.一种新型径向复合阶梯盘形压电变压器［J］.陕西师范大学学报：自然科学版，2014，42（1）：39－45.

［9］Lin S Y.Analysis of the equivalent circuit of piezoelectric ceramic disk resonators in coupled vibration［J］. Sound Vibration，2000，231：277－290.

［10］Lin S Y.Study on a new type of radial composite piezoelectric ultrasonic transducers in radial vibration［J］. IEEE Transactions on Ultrasonics Ferroelectrics and Frequency Control，2006，53（9）：1671－1678.

［11］林书玉.压电陶瓷薄圆环振子径向振动的机电等效电路及其分析［J］.应用声学，2005，24（3）：140－146.

〔责任编辑 李 博〕

Research on radial vibration of piezoelectric ceramic composite disk transformer

NI Hao，LIN Shuyu＊
（School of Physics and Information Technology，Shaanxi Normal University，Xi′an 710119，Shaanxi，China）

The radial vibration of piezoelectric ceramic composite disk transformer is studied.The piezoelectric transformer is composed of three concentric piezoelectric ceramic disk，metal ring，and piezoelectric ceramic ring.Based on the electro－mechanical equivalent theory，the electro－mechanical equivalent of the piezoelectric transformer，input impedance，the resonance frequency equation，anti－resonance frequency equation and the equation of transformer ratio are obtained. The dependency of the frequency and effective electro－mechanical coupling coefficient on the geometrical dimensions are obtained by using the analytical and numerical methods.The influence of load on frequency，effective electro－mechanical coupling coefficient，transformer ratio on the piezoelectric ceramic transformer are analyzed.It is shown as the increase of ratio of wall thickness，the resonance frequency and anti－resonance frequency increase and the effective electro－mechanial coupling coefficient decreases.The frequency and transformer ratio are all increased with the load increasing，but the effective electro－mechanial coupling coefficient is decreased with the load.

piezoelectric transformer；electro－mechanical equivalent；optimization design

O426.1；TM433

：A

1672－4291（2015）05－0033－06

10.15983／j.cnki.jsnu.2015.05.253

2014－12－25

国家自然科学基金（11174192）；高等学校博士学科点专项科研基金（2011020211010）

倪浩，男，硕士研究生，研究方向为压电变压器。E－mail：louisnh＠sina.com

＊通信作者：林书玉，男，教授，博士生导师。E－mail：sylin＠snnu.edu.cn