钢构件排料问题的数学模型研究★

丁 勇

(湖北交通职业技术学院，湖北 武汉 430079)

钢构件排料问题的数学模型研究★

丁 勇

(湖北交通职业技术学院，湖北 武汉 430079)

对2015年华中地区大学生数学建模邀请赛A题(钢构件排料问题)进行了研究，建立了规则形状零件情形下的数学模型，采用纵、横向切割方式，对原料板材的零件切割分布进行了模拟，通过图形各面积的关系确定了准最优切割模式，得到最高利用率约为99%。

钢构件，排料，数学模型，规则形状零件，利用率

1 问题重述[1]

在钢构件制造产品的生产过程中，依照产品零件尺寸从板料中截取大小适当的零件过程称之为排料，也称之为下料。排料是钢构件制造的第一道工序。在这道工序中，不同的排料方案具有不同的材料利用率，而原材料的利用率直接影响产品的成本。对于一个年消耗大量钢材的生产单位，若能够提高原料利用率的1%，那么其节约的钢材成本是可观的。因此，降低废料率、提高原材料利用率是钢构件生产企业追求的目标。根据实际情况，板材排料又可分为两种：1)规则形状的零件排料；2)不规则形状的零件排料。规则形状零件是指矩形零件。其描述一般只需用矩形的长和宽。规则形状零件的排料问题的实质是研究如何组合零件摆放问题，使得在整个原料上摆放大量的不同长和宽的零件产生的废料最少、整料和余料的利用率最高。排料时，其零件间的搭接关系的处理只考虑长、宽两个因素(含预留的损耗量)。由于切割工艺的要求，切割只能实行“一刀切”的工艺(在整料或余料中，从一边的某点到另外一边某点的连线一次切割，但可以在切割下来的板料中再次切割)。板材的利用率就是所有零件面积之和与在一刀切工艺后继续切割的那部分板材面积的比值。论文主要研究对于1张板料和若干规则形状零件，如何在板料中摆放零件使板料的利用率最高(板料和零件参数见文献[1]附件1)。

2 问题分析

1)从一边的某点到另外一边某点的连线一次切割，是指只能直线段切割，而不能折线或曲线切割。2)“板材的利用率就是所有零件面积之和与在一刀切工艺后继续切割的那部分板材面积的比值”，说明了在一刀切工艺后，继续切割的那部分板材面积越小，则利用率越大，这符合人们对利用率的理解。3)摆放模型有如下考虑方向：a.与以往的全国赛题(地震搜救、卫星测控)、2014年数学中国数学建模网络挑战赛题(幼儿园园长的烦恼)类似，属于几何覆盖问题。b.与钢管下料问题类似，属于数学规划问题，可以采用LINGO求解，可以将题给数据存储于EXCEL，使用LINGO程序调用EXCEL数据。对于所研究的三种情形，目标均为利用率最高，因此首先应设计目标函数，即给出利用率的表达式，且表达式应为与数据无关的通用形式，以便于推广。如果在研究过程中建立的是线性非整数规划模型，则需要使用LINGO完成灵敏度分析，以适应数据变化的情形，如果是非线性规划模型或整数线性规划模型，则LINGO无法完成灵敏度分析。c.通过对附件1中坐标数据的处理，再利用CAD绘制零件摆放切割模型的模拟图，最后通过计算出的损耗值得出利用率的大小。

3 数学模型的建立与求解

3.1 数学模型的建立

规则零件均为四边形，且只需考虑切割时零件的长和宽，在对附件1中的数据[1]进行处理后，得到了各零件边的坐标值部分数据，如表1所示。

表1 附件1中各零件边的坐标值 mm

由于原料板材在切割时选用“一刀切”工艺，因此将原料板材分为纵、横向切割[2]，见图2，图3。

在切割过程中因为零件的尺寸原因也有两种方式交替使用的原则，例如先横向切割再纵向切割，如图4所示。

将上述的几种切割方式转化为零件在原料板材的排列方式，通过CAD的模拟绘制，得到零件切割方式图，如图5所示。

由图5可得出各零件在原料板材的分割位置，图5中填充的黑

色部分为原料板材切割零件后所余留下的材料，同时也可得知该切割方式为先整体规划共边[3]竖向切割，再分布进行横向切割，附件1已给出相应的尺寸与坐标值，可得相应的面积。

以逆向统计的方法将利用率转换为求损耗率，则有：

可得利用率为：

L=1-Q。

3.2 数学模型的求解

将零件的尺寸规格进行统计处理，求得各零件的面积，统计结果如表2所示。

表2 附件1中所给零件的长、宽和面积值

通过数据和图5可计算出问题一中的余料面积：

Sy≈114 999.99 mm2。

则损耗率为：

结果接近0，因此利用率L=1-Q≈99%，可知利用率接近1，所以按图5方式排列切割的方式为最优化的结果，利用率最高。

[1] 华中数模网.第八届华中地区大学生数学建模邀请赛赛题发布[OL]. http://www.shumo.cn/html/jmjs_576_1181.html，2015-05-01.

[2] 崔耀东.同尺寸矩形毛坯排样与板材尺寸的合理选择[OL].http://www.docin.com/p-857443892.html，2015-05-03.

[3] 吕亚军.基于共边切割方法的板材切割路径优化[OL].http://www.docin.com/p-791677416.html，2015-05-03.

Study on mathematical model of steel discharging problem★

Ding Yong

(HubeiCommunicationsTechnicalCollege，Wuhan430079,China)

Problem A (steel cutting problem) in the 2015 central China Undergraduate Mathematical Modeling Competition is studied in this paper. The paper established a mathematical model of shape under the condition of the parts, longitudinal, transverse cutting mode, cutting parts on the raw plate distribution was simulated, through the relationship between the figure of each area to determine the quasi optimal cutting mode, the highest utilization rate is about 99%.

steel， discharge， mathematical model， irregular parts， utilization

2015-05-26★：湖北交通职业技术学院科研项目(项目编号：201219B)

丁 勇(1983- )，男，硕士，讲师

1009-6825(2015)22-0128-02

O242

A