液体晃荡问题的比例边界有限元方法研究

王 硕 张文华 于 过

(大连理工大学建设工程学部，辽宁 大连 116024)

液体晃荡问题的比例边界有限元方法研究

王 硕 张文华 于 过

(大连理工大学建设工程学部，辽宁 大连 116024)

推导了液体晃荡频域问题的比例边界有限元方程及其求解过程，对于一些典型规则几何形状内的液体晃荡问题进行模拟，数值算例表明该方法只需离散非常少的节点就能达到非常高的精度。

比例边界有限元方法,液体晃荡,频率

0 引言

液体的晃荡问题在水利、船舶、航天、石化、高层建筑减振和城市供水等领域均有应用，具有广泛的工程背景。传统的有限差分法[1]、有限元法[2]、粒子法[3]及边界元法[4]在某些领域发展较成熟，但各种数值计算方法对储液容器晃动问题的研究也大多集中在液体晃动的二维问题上[5]，即使是三维问题也大多是对称结构(如长方体、圆柱、圆锥以及球形等)，而对复杂或不规则几何形状三维容器液体晃荡问题研究非常少，这主要在于传统的数值计算方法在计算大规模液体晃荡问题计算效率相对比较低，计算规模大，处理一些边界条件(如交界面条件)比较困难。

比例边界有限元方法是近年来迅速发展的一种半解析数值方法，可以被用来有效地求解线性偏微分方程，该方法结合了有限元法和边界元法的优点，同时又具有独特的特性[6]。该方法可以减少一个空间维数，因为它只需数值离散计算域边界；而在另外一个方向即径向方向可以解析求解，由此具有较高的计算精度和效率。与边界元方法相比，它不需要基本解，同时也没有奇异积分问题；对于无限域问题，相对于有限元方法，它不需要截断边界条件，能自动满足无穷远处的辐射边界条件。比例边界有限元方法已成功地应用于弹性静、动力学、断裂力学、结构—无限地基动力相互作用、流固耦合、声波等领域，在许多领域有着非常大的应用前景。

鉴于SBFEM的优越性和液体晃荡问题的复杂性，本项目将利用SBFEM继续深入研究液体晃荡及其与结构相互作用中有待于解决的复杂问题。

1 频域内三维液体晃动的问题求解

1.1 三维液体晃动的问题基本方程

假设容器内的液体为不可压缩、无粘、非定常无旋，则频域内描述三维容器内液体晃荡问题的控制方程为拉普拉斯方程。

(1)

其中,φ为容器内液体速度势。

对应的边界条件有以下两类：

1)自由水面边界条件(本文假设为线性边界条件):

(2)

2)容器边界条件:

(3)

其中，n为容器边壁的法向方向；vb为容器边壁上的法向速度。

1.2 三维实体容器内液体晃动的比例边界有限元方程

对于以上三维液体晃荡问题的控制方程和边界条件问题的比例边界有限元方程推导，必须先建立笛卡尔坐标系统和SBFEM系统转换关系。

(4)

其中：

x(η,ζ)=N(η,ζ)x
y(η,ζ)=N(η,ζ)y
z(η,ζ)=N(η,ζ)z

(5)

比例坐标与笛卡尔坐标的变换关系：

(6)

在比例坐标系统下Laplace算子表示为：

(7)

其中：

对于三维的控制方程和边界条件，应用加权余量法可以表示如下：

(8)

φ(ξ,η,ζ)及w(ξ,η,ζ)分别表示为：

φ(ξ,η,ζ)=N(η,ζ)φ(ξ)

(9)

w(ξ,η,ζ)=N(η,ζ)w(ξ)=(w(ξ))T(N(η,ζ))T

(10)

其中，向量φ(ξ)和w(ξ)均代表节点值。将方程(7),(9)和(10)代入方程(5)，通过分部积分最终整理可得(考虑任意δφ(ξ))。

(11)

(12)

(13)

(14)

方程(14)代表SBFEM基本方程，方程(11)和(12)代表内外边界条件，方程(13)代表在自由表面边界条件。

1.3 三位液体晃动的比例边界有限元方程求解

定义状态变量：

(15)

为了进行方程(14)的求解，引入的对偶变量：

(16)

则基本方程(14)可转化为状态方程：

ξX(ξ),ξ==-[Z]X(ξ)

(17)

哈密顿矩阵:

(18)

方程(17)可以通过特征值求解:

(19)

其中，λ和矩阵ψ11，ψ12，ψ21和ψ22为特征值和特征向量。对有限域系数c2=0，系数c1通过边界条件求解。考虑自由表面边界条件(13)，方程(19)进一步可简化为:

(20)

2 数值算例

2.1 圆柱容器液晃荡问题

为了说明SPFEM方法的准确性和有效性，对图3所示的圆柱内的液体晃荡问题进行了模拟,容器内水深为H，容器长为R/H=0.5。容器在X方向上做频率为ω，振幅为A的简谐晃荡。比例中心设置在计算区域的中心，依然采用八节点单元。容器的速度运动方程为：

u=ωAcos(ωt)

(21)

图4为在无量纲频率下ω/(g/H)1/2=1和ω/(g/H)1/2=2的沿X轴和容器边壁上一周的无量纲化液面升高S/A的计算结果与解析解对比。其中，比例边界有限元网格划分成三种情况：160，224和640单元。

从图4可以看出，两者吻合较好，证明了本方法在求解复杂圆弧曲面问题时的精确性。

2.2 圆环柱结构容器液晃荡问题

该结构的示意图如图5所示，外圆的半径和2.1节圆柱容器液晃荡问题的圆柱结构一样。下面重点考察了内圆半径变化对液面升高的影响(内外半径比分别选取为r/R=0.2，0.3,0.4,同时考虑了与圆柱问题的对比)。整个结构分成4个比例边界有限元子结构，总节点数为2 596个。

图6为无量纲频率下ω/(g/H)1/2=1，ω/(g/H)1/2=2和ω/(g/H)1/2=3的分别沿容器外边壁上一周的无量纲化液面升高的计算结果。

2.3 上圆柱下倾斜柱容器液晃荡问题

该结构的示意图如图7所示,底圆的半径为R/2，其他计算参数和2.1一致，同时网格的划分与2.1也一致(采用640单元)。

图8和图9为无量纲频率下ω/(g/H)1/2=1和ω/(g/H)1/2=2的沿X轴和容器边壁上一周的无量纲化液面升高S/A的计算结果，与2.1中圆柱情况结果的比较，从图中可以看出，对于低频情况，液面升高和圆柱情况基本上没有差别；而增大频率时，液面升高的最大值较圆柱情况小。

3 结语

开展了应用比例边界有限元法分析了容器液体晃荡频域问题。分别基于加权余量和变分原理，详细推导了比例坐标系统下三维容器液体晃荡问题的比例边界有限元方程求解过程。通过和其他数值方法或解析解对比发现，该方法在使用非常少的单元就能取得非常高的计算效率和计算精度。详细讨论了不同种类型(圆柱、圆环柱、上圆柱下倾斜柱容器)的容器在不同频率激励下的液体晃荡问题的液面高度变化情况。

[1]LeeS.H.,LeeY.G.,Jeong,K.L..Numericalsimulationofthree-dimensionalsloshingphenomenausingafinitedifferencemethodwithmarker-densityscheme[J].OceanEngineering,2011(38):206-225.

[2]WuG.X.,MaQ.W.,EatockT.R..Numericalsimulationofsloshingwavesina3Dtankbasedonafiniteelementmethod[J].AppliedOceanResearch,1998，20(6):337-355.

[3]Wu,N.J.,ChangK.A..Simulationoffree-surfacewavesinliquidsloshingusingadomain-typemeshlessmethod[J].InternationalJournalforNumericalMethodsinFluids,2011(67):269-288.

[4]GedikliA.,ErgüvenM.E..Evaluationofsloshingproblembyvariationalboundaryelementmethod[J].EngineeringAnalysiswithBoundaryElements,2003，27(4):935-943.

[5]TengB.,ZhaoM.,HeG.H..Scaledboundaryfiniteelementanalysisofthewatersloshingin2Dcontainers[J].InternationalJournalforNumericalMethodsinFluids,2006(52):659-678.

[6]WolfJP,SongCM.Dynamic-stiffnessmatrixofunboundedsoilbyfinite-elementmulti-cellcloning[J].EarthquakeEngineeringandStructuralDynamics,1994(23):233-250.

Scaled boundary FEM solution of liquid sloshing problems

Wang Shuo Zhang Wenhua Yu Guo

(FacultyofInfrastructureEngineering,DalianUniversityofTechnology,Dalian116024,China)

The paper induces the scaled boundary finite element equation of the liquid sloshing frequency domain and its solution process, simulates the liquid sloshing of some typical regular geometrical shapes, and proves by the numeric calculation case that some nodes with little discretization can achieve high accuracy.

finite element method of scaled boundary, liquid sloshing, frequency

2015-02-26

王 硕(1993- )，男，在读本科生； 张文华(1993- )，男，在读本科生； 于 过(1994- )，男，在读本科生

1009-6825(2015)13-0043-03

O241.82

A