基于等腰三角载波的鞍形波PWM的数学分析

陈国呈，蔡立清，周勤利，顾红兵，雷 电

(1．常州钜特工业科技有限公司，江苏常州200122;2．上海大学自动化学院，上海200072)

基于等腰三角载波的鞍形波PWM的数学分析

陈国呈1，2，蔡立清1，周勤利1，顾红兵1，雷 电1，2

(1．常州钜特工业科技有限公司，江苏常州200122;2．上海大学自动化学院，上海200072)

本文针对SVPWM就是鞍形波PWM提法的不严谨性，详细阐述了SAPWM的优化方法，展示了SAPWM的良好效果。指出SVPWM是利用空间电压矢量概念进行PWM的一种方法，并非就是鞍形波，鞍形波是SVPWM的一个特例。SAPWM是在模式优化过程中发现，当正弦调制波的上下包络线对称于横轴时，能获得最优输出特性，其几何、物理意义非常明晰。由于SAPWM调制波波形的固有特点，在相同输出电压条件下，所需的调制深度较SPWM小，使得其在各载波频域中具有更丰富的差频波，但该差频波的幅值较SPWM小，故其总谐波失真和总谐波损耗减小，且其正负序分量产生的脉动转矩在一定程度上相互抵消，有效地抑制了转矩脉动;SAPWM能进一步提高调制深度，有利于提高直流母线电压利用率，从而成为三相逆变器的一种最优调制波。文章在SPWM数学分析的基础上，进一步用傅里叶级数展开法对SAPWM进行了深入的数学分析，逐一论证了SAPWM成为最优调制模式的理论依据。本文的数学分析方法较其他分析方法简捷、明确、易懂，可节省大量的推导工作量。

逆变器;脉冲宽度调制;谐波;转矩脉动;频谱;空间电压矢量

1 引言

20世纪80年代开始，半导体功率器件获得了突飞猛进的发展，继双极晶体管(BJT，亦称GTR)刷新了之前的晶闸管(SCR)之后，MOSFET、IGBT、GTO、IGCT乃至SIT、SITH又粉墨登场。半导体功率器件的快速发展推动了电力电子变换技术及其产业应用领域的迅速壮大，在其为人类带来福祉的同时，也产生了许多负面效应，如功率开关器件在高频度开关运作时带来的巨大开关损耗、电磁辐射、谐波污染、转矩脉动等。为此，人们不得不从控制方法方面寻找出路，20世纪80年代开始，PWM Pattern研究成为世界同行关注的热点，并相继提出了各种优化的PWM模式:准最优PWM［1-7］、谐波损耗最小PWM［8，9］、开关次数最少PWM［10-13］、转矩脉动最小PWM［14，15］、选择谐波消去 PWM［16，17］、鞍形波PWM［18-22］，最终以鞍形波PWM(即SAPWM)独占鳌头，如今已在世界范围内得到了广泛应用。但当时的研究仅停留在模式优化的探求上，并通过仿真和实验得以求证，却没有从数学上进一步推导和分析，不便于理解其内涵。另外，有关PWM的数学分析方法，有文献提出用傅里叶级数展开法［23］，也有文献提出用双重傅里叶级数展开法［11］，甚至直接用数值计算的方法［8，9］。对于鞍形波这类畸变的调制波，如果用双重傅里叶级数展开法或直接数值计算的方法，不但过程十分复杂，工作量繁重，而且问题的解也不很直观，不便理解，更不便推广应用。本文详细阐述鞍形波的优化过程，指出SAPWM与SVPWM的差异性，通过深入的数学分析，逐一论证了SAPWM成为最优调制模式的理论依据。本文的推导方法能使问题大大简化，解析结果简明易懂，便于读者掌握和推广应用。

2 鞍形波的由来

鞍形波PWM是20世纪80年代研究的一个成果［18-21］，研究对象是如图1所示的三相逆变器，采用的是如图2所示的空间电压矢量(Space Voltage Vector)概念。图中每个矢量的括号内数据依次代表三相逆变器U、V、W相的驱动信号，如V6(110)表示U、V相上桥臂导通(下桥臂关断)、W相上桥臂关断(下桥臂导通)，其余类推。

图1 三相逆变器主电路Fig．1 Main circuit of three-phase inverter

图2 空间电压矢量Fig．2 Space voltage vector

研究刚开始也是从SPWM入手的，图3为三相SPWM调制的部分示意图，图4为图3中三角载波斜边P-Q-R-S部分的放大，根据UU、UV、UW与三角载波相比较的结果，结合图2的空间电压矢量定义，可得到图4最下面的空间电压矢量模式，图中用|0| 2|6|7|6|2|0|2|6|7|简表对应各自的空间电压矢量。

图5为三相正弦波与三角载波PQ边相比较生成的PWM模式，图中|0|2|6|7|表示对应的空间电压矢量，其中|2|6|是有效的空间电压矢量，并定义其总宽度为1。文献［18-21］指出，当|2|6|的前沿A离开PQ边中点的距离x=0.5时，逆变器输出电流中的谐波最小，转矩脉动也最小。这意味着图4中UU、UV、UW三个正弦波必须离开Q点向P点靠近，即交点A、C必须关于ωt轴为中心对称，三角载波其他边沿(如QR、RS等)情况亦然。

图3 三相SPWM调制Fig．3 Three-phase SPWM modulation

图4 P-Q-R-S的放大Fig．4 Zoom in area of P-Q-R-S

图5 三相正弦波与三角载波PQ边生成的PWM模式Fig．5 PWM pattern generated by 3-phase sine wave and PQ side of triangular carrier wave

图3、图4为了分析问题方便，不宜把三角载波画得太多。实际情况是，功率MOSFET和IGBT的开关频率都很高(至少在数kHz之上)，此时的载波频率比可以取得很高。这就告诉我们，要使得三角载波每个边沿与调制波的交点对称于ωt轴，就必须使三相正弦波的包络线对称于ωt轴。为此，可以先寻找这些正弦波上下包络线的对称中心点，然后把这些中心点轨迹连接起来就是包络线的对称中心线，如图6中黑粗线所示的疑似三角波－Y(t)。把这根轨迹线水平拉直，或者说在图6中叠加一个与－Y(t)反极性的Y(t)(如图7所示)，并认为这一动作牵拉UU、UV、UW三个正弦波发生了相同尺度的弹性变形，就得到了图7所示的UU、鞍形波。对UV、UW做同样处理后容易看出，此时鞍形波上下包络线始终关于ωt轴为对称。鉴于该波形有着两个波峰，颇像马鞍形，故作者取其名为鞍形波调制(Sadlle PWM)，为区别于正弦波SPWM，将其简写为SAPWM，这才是SAPWM的真正由来。研究时所采用的也是空间电压矢量概念。但仅采用该概念而不作任何优化处理是得不到鞍形波的，应该说鞍形波只是SVPWM的一个特例。该结果后来在日本电气学会、欧洲电气学会和IEEE学会里逐步得到了同行的共识，并写入了各自的教科书和论著［24，25］，在世界各国推广应用开来。

图6 三相正弦波包络线与对称中心线Fig．6 Envelopes of three-phase sine wave and symmetric central curve

图7 三相鞍形调制波的生成Fig．7 Generation of three-phase SAPWM

3 SVPWM的操作方法

SVPWM顾名思义是利用空间电压矢量实现PWM的一种方法，其操作过程如下。以图2的第Ⅰ扇区为例，该扇区只有两个非零空间电压矢量V4(100)、V6(110)，设其作用时间分别为t4、t6(如图8所示)，参考电压Vref的作用时间为T。

图8 第Ⅰ扇区空间电压矢量Fig．8 First sector of space voltage vector

为了使空间电压矢量的作用效果与参考电压的作用效果保持一致，必须使两者的伏秒乘积保持相等，即

式中，Vref表示基波电压峰值。由于所有非零电压矢量的模都是直流母线电压Ed，零电压矢量的模是零，而Vref=MEd，其中M为调制深度，所以式(1)又可写成

即

由于Vref的作用时间为MT，由图8根据正弦定理，显然有

可得

在求出上述t4、t6和t0后，SVPWM的作法是:①将整个T周期分成左右两半(各占T/2)，见图9;②又将t4、t6和 t0各分成两半，其中的 t4/2、t6/2、t0/2放在左T/2里，另t4/2、t6/2、t0/2放在右T/2里;③左边的t0/2又分成两个t0/4，一个给V0(000)，另一个给V0(111);右边的另一个t0/2也分成两个t0/4，一个给V0(000)，另一个给V0(111)。这样做的结果是，在整个载波周期中，生成的PWM脉冲关于中心线P-P为左右对称，这就是SVPWM的实质。

图9 第Ⅰ扇区空间电压矢量Fig．9 Pulse width generated with first sector of space vector

综上看出，SAPWM强调的是非零电压矢量V4和V6作用时间必须位于O-O线和P-P线之间以及P-P线和Q-Q线之间的中心位置上，如图4、图5和图9所示;而SVPWM强调的是非零电压矢量及V0(111)的作用时间必须左右对称于P-P线。众所周知，在PWM调制过程中，调制波的幅值随ωt在渐变，一般说相邻载波周期的脉宽是不等的，SVPWM将上述的t4、t6、t0平分后分配到前后各T/2周期中，客观上把这种差异性忽略了，特别是在载波频率较低时，这种差异性就更严重了。SAPWM则不然，它只强调前后各T/2周期中非零电压矢量居中，保留了相邻载波周期中脉冲宽度的差异性，有着清晰的几何图形概念，物理意义也很明确。SVPWM将各脉冲置于该周期的中央，这只是一种最方便的处置方法，实际上是借鉴了鞍形波的研究结果，但其几何意义和物理意义都不明确。严格说，空间电压矢量虽然只有V1～V6和V0(000)、V0(111)，其排列组合不过8种，但根据各脉冲在每个载波周期内放置位置的不同，却有无数个位置可排列，形成一个集合。只有当各个脉冲都位于每个载波周期的中央时，才能得到鞍形波。因此说SVPWM就是鞍形波，这是混淆视听了，是不严谨的。SVPWM是一种操作方法，鞍形波只是SVPWM的一个特例，SVPWM不能等价于鞍形波。

20世纪80年代研究出了很多PWM模式，其中很多都在PWM的集合里，SPWM和SAPWM也是这个集合中的两个成员。由于SPWM的三相脉冲并不位于载波周期的中央，所以比SAPWM逊色一筹，只有SAPWM才是最优化的一种模式。

关于PWM的频谱分析，有文献提出用傅里叶级数展开法［23］，也有文献提出用双重傅里叶级数展开法［11］，甚至直接用数值计算的方法［8，9］。对于鞍形波这类畸变的调制波，如果用双重傅里叶级数展开法或直接数值计算方法，不但过程十分复杂，工作量繁重，而且问题的解也不很直观，不便理解。本文的做法是先将鞍形波分解成不同频率的正弦波，然后借用SPWM的频谱分析方法进一步分析SAPWM的频谱，使得问题大大简化，解析结果简明易懂。下面先分析SPWM的频谱特性［26，27］。

4 SPWM的数学分析

图10为单相全桥式逆变器的主回路。当V1和V4导通时，输出电压UUV为+Ed，而V2和V3导通时输出电压UUV为－Ed。当V1、V3或V2、V4导通时，UUV=0。调节上述输出电压+Ed和－Ed的宽度比，可以获得所期望的输出电压波形。

图10 单相全桥式逆变器的主回路Fig．10 Main circuit of single phase full-bridge inverter

图11 表示正弦波平均对称规则采样的调制原理，图12为图11的局部放大示意图，图中Ts为平均对称规则采样周期。由图可知，输出脉冲的宽度取决于在该脉冲的中心点ωst=0(ωs为采样角频率)时刻所采样到的调制波的数值，且该脉冲宽度总是以采样点0为中心左右对称。当调制深度M=0时，调制波f(t)=sin(ω1t)的高度为0，逆变器的输出电压为一系列导通比为50%的方波。即，当M= 0时，θ1=－π/2，θ2=π/2;当M＞0时，θ1和θ2由式(10)给出:

图11 正弦波平均对称规则采样(SPWM)Fig．11 Sine wave average symmetrical sampling method

4.1 SPWM单相逆变器输出电压的数学分析

先考虑U相相对于直流侧电压中点0的电位UU。当V1导通V2截止时，UU=Ed/2;反之，当V1截止V2导通时，UU=－Ed/2。

在异步式PWM调制时，一个调制波周期内所含的各脉冲模式不具备重复性，因此，无法以调制波的角频率ω1为基准，对谐波分量进行傅里叶级数展开分析。这种情况下，不如以载波的采样角频率ωs为基准来考察载波的边频带更为合理［23］。在对称规则采样情况下，载波角频率就是采样角频率Ts。

图12 平均对称规则采样的局部放大示意图Fig．12 Production of PWM waveforms with average symmetrical sampling method

由图12显然可以得到如下关系式:

这里由于

兼顾式(11)，对式(13)进行积分，可以得到

将式(10)代入式(14)，可以得到

进而把式(15)代入式(12)，则有

式(16)第一项是角频率为ω1的基波成分，可知基波的振幅为MEd/2;式(16)第二项为谐波成分，把它记为A，并根据贝塞尔公式

将其展开，可以得到式(17)，这里Jn为n次的贝塞尔函数。

下面就n为奇数和偶数两种情况，对式(17)进一步进行分析。

联系到式(16)可以看出，角频率为(nωs±kω1)的谐波振幅为

式中，n=1，3，5，…;k=2，4，…。

(2)n=2，4，6，…时，sin(nπ/2)=0，则式(17)为

令k=2l－1，l=1，2，…，则

同样可以看出，角频率为(nωs±kω1)的谐波振幅为

式中，n=2，4，6，…;k=1，3，5，…。

以上情况可以归纳如下:对于图10的单相电路，如果IGBT导通，一般都是V1与V4，或V2与V3同时进行的，则V相的电位Uv总是与Uu反相，Uv=－Uu。因此，输出电压Uuv=Uu－Uv=2Uu，基波分量和谐波分量的振幅将是式(16)、式(18)和式(19)所示振幅的2倍。

在调制波为正弦波的情况下，采用平均对称规则采样方法所得到的单相逆变器相电压的基波和谐波的振幅为

式中，n=1，3，5，…时，k=0，2，4，…;n=2，4，6，…时，k=1，3，5，…。

图13为单相逆变器输出电压的频谱，图14为实测频谱。可以看出，在基波频域，即n=0时，除了基波分量(k=1)外，其余分量幅值都为0，这与式(16)的第一项完全符合;当n=1，3，…时，差频波只在k=0，±2，±4，…处出现，这与式(18)完全符合;当n=2，4，…时，差频波只在k=±1，± 3，…处出现，这与式(19)完全符合。

4.2 SPWM三相逆变器输出电压的数学分析

(1)基波分量

图1是三相逆变器的基本主电路，在三相桥情况下，根据开关器件V1～V6的导通和截止的不同组合，三相输出端U、V、W相对于直流回路的中心点0的电位分别为Ed/2或－Ed/2，而输出线电压为+Ed、－Ed和0三种数值。现仍假定调制波为正弦波，而且三相采样时间是同步的。根据式(16)，U相的输出电压Uu为式(20)，则其输出线电压Uuv为式(21):

图13 单相逆变器输出电压频谱Fig．13 Output voltage spectrum of single phase inverter

图14 实测输出电压频谱Fig．14 Real output voltage spectrum of single phase inverter

再由式(20)和式(21)可得到线电压的基波成分Uf(uv)为

可知，输出线电压基波成分的振幅为

(2)谐波分量

1)当n=1，3，5，…，k=2，4，6，…时，由式(18)和式(21)可得谐波分量Uh(uv)如下

角频率为(nωs±kω1)的谐波成分的振幅为

式中，n=1，3，5，…;k=3(2m－1)±1，其中m=1， 2，3，…。

2)当n=2，4，6，…，k=1，3，5，…时，由式(19)和式(21)可得谐波分量Uh(uv)如下

角频率为(nωs±kω1)的谐波成分的振幅为

式中，n=2，4，6，…;k=6m±1，其中m=0，1，…。

以上情况可以归纳如下，在调制波为正弦波的情况下，采用平均对称规则采样调制方法所得到的三相逆变器输出线电压的基波和谐波的振幅为

图15为三相逆变器输出线电压的频谱，图16为实测的频谱。与图13 相比可以明显地发现，图13 中在采样角频率ωs的奇数倍(即n=1，3，…，k=0)处高次谐波在图15 中全部消失了，这是由于在由式(17)和式(21)推导式(24)时，式(18)右边U相的项与V相的项相抵消的缘故;而在ω的偶s数倍次，即n=2，4，…，k≠0时，图15基本保持了图13的谐波，但在k=0处没有高次谐波，这是因为式(26)中sin(kπ/3)=0的缘故。此外，边频带中3的倍数次谐波也消失了(见图15中n=2，k=±3)，这是因为在式(26)中，当 k为 3的整数倍时，sin(kπ/3)=0。以上情况从图16与图14比较中也同样能反映出来，即对于所有n，图14中在k=0处的谐波在图16中都不存在了。

图15 三相逆变器输出线电压频谱Fig．15 Output line voltage spectrum of 3-phase inverter

图16 实测线电压频谱Fig．16 Real output line voltage spectrum of 3-phase inverter

正弦波PWM是一种最通俗易懂的调制方式，但它尚存在一定的缺点:①输出电压不够高，最大线性输出线电压幅值仅为输入电压的倍;②其谐波含量也相对较大，由此带来的转矩脉动也较大，从而引起20世纪80年代世界同行的关注。

5 SAPWM的数学分析

从第4节的分析中可以看出，采用式(12)所示傅里叶级数展开方法能够比较清晰认识PWM的频谱分布情况。为此对SAPWM的数学分析也可以借用该方法，但必须先对鞍形波进行分解。

5.1 鞍形波的分解

图17为单相鞍形调制波，它有着明确的数学表达式［22，27］，即

图17 鞍形调制波Fig．17 Waveform of SAPWM

文献［18-22］指出，当U、V、W三相调制波的正负包络线取成关于横轴ωt为上下对称时，PWM逆变器输出电压的谐波含量最小，从而降低了输出电流的谐波含量和与之密切相关的转矩脉动。要分析其频谱特性，按照文献［11］的做法，必须采用双重傅里叶级数展开法，这不但相当麻烦，而且分析结果也没有式(12)、式(16)～式(19)简洁明了。本文采取如下处理方式，不但简单，也便于理解。

如图7所示，U相的输出电压UU(t)是由f(t)和Y(t)合成的，不难看出其中

需要指出的是，Y(t)初看起来颇像一个三角波，实则为由式(29)所示的sin(ω1t/2)波组成(如图18所示)，故文章称之为疑似三角波。

图18 Y(t)的波形Fig．18 Waveform of Y(t)

先将图18中的Y(t)展成如式(30)所示的傅里叶级数:

式中，傅里叶级数系数用aΩ，0、aΩ，n、bΩ，n表示，下标Ω表示角频率Ω1(=3ω1)的系数，以区别式(12)中ωs的系数。由于Y(t)是个对称波，即Y(t+T/2) =－Y(t)，所以不可能含有直流分量和偶数次谐波，从而有傅里叶级数系数:

图18还指出，Y(t)是个奇函数，所以式(31)中不可能含有cos项，即式(31)中的aΩ，2m+1=0，所以式(31)可简化为

由于图18中0～T/4区间的Y(t)与T/4～T/2区间的Y(t)相对称，则式(32)可改写为

联系到式(29)中Y(t)的表达式，则有

当m为奇数时

当m为偶数时

将式(34)代入式(30)，有

由式(37)可以看出，Y(t)中所含的3ω1波的振幅是这便是文献［22］的结论，其与文献［1-5］及文献［6，7］的准最优PWM的结论1/6(即0.167)和1/4(即0.25)何等相近却又不尽然，相近是三者都在0.2上下较合适，不尽然是因为文献［22］还含有9ω1、15ω1、21ω1、…等 3的奇数倍次谐波，其幅值分别为－0.0207、0.00738、0.00376…。正是这些3的奇数倍次谐波的作用才使得Y(t)比准最优PWM表达得更细腻、精确，从而成为最优化调制波。

5.2 SAPWM单相逆变器输出电压的数学分析

鞍形波UU(t)是由图7中的f(t)和Y(t)所组成，f(t)对三角波调制的频谱如式(16)、式(18)和式(19)所示，为此只要进一步考虑Y(t)的频谱即可。由式(37)可知，Y(t)是个正负交错幅值衰减的无穷级数，分析Y(t)的频谱时可以将式(37)的各分量都代入到式(16)、式(18)和式(19)，但这样一来式子显得很臃肿复杂，不便于阅读。实际上可以以式(37)的任一m所代表的谐波为例，将其代入到上述各式，求得该谐波分量的频谱，然后将结论推广到m=0，1，2，3，…后就可以得到Y(t)的完整频谱。

对于图10所示的单相逆变器，仿照第4节SPWM的数学分析，可以很方便地得到SAPWM的输出电压。由式(10)和式(37)知道，此时

或写成

式(38)代入式(14)有n

式(39)代入式(12)有

式(40)第二项写成

下面就n为奇数和偶数两种情况，对式(41)进一步分析。

令k=2l，l=1，2，…，则

联系到式(16)可以看出，角频率为nωs±k2m+ (1) Ω1的谐波振幅为

式中，n=1，3，5，…;k=2，4，…;m=0，1，2，3…。

(2)n=2，4，6，…时，sin(nπ/2)=0，则式(41)为

令k=2l－1，l=1，2…，则

同样可以看出，角频率为nωs±k2m+ ( 1) Ω1的谐波振幅为

式中，n=2，4，6，…;k=1，3，5，…;m=0，1，2，3…。

从式(40)、式(42)和式(43)可以看出，Y(t)经PWM调制后，其频谱里含有角频率为(2m+1)Ω1(即3ω1的奇数倍次)和nωs±k(2m+1)Ω1等各次谐波，其中(2m+1)Ω1在基波频域，而nωs±k(2m +1)Ω1在nωs频域。

5.3 SAPWM三相逆变器输出电压的数学分析

(1)基波分量

对于图1所示的三相逆变器，SAPWM的输出线电压应该由f(t)和Y(t)共同作用产生，即基波频域的频谱应该是式(20)第一项和式(40)第一项共 同作用的结果，则由式(21)有基波

可见，Y(t)的作用并不出现在基波频域，即基波频域只有f(t)基波分量，或者说Y(t)产生的零序分量在三相逆变器中相互抵消了，这也是必然的。

(2)谐波分量

下面再来考察一下SAPWM的谐波成分Uh(uv)，将式(34)分别代入式(18)和式(19)，则有:

当n=1，3，5，…，k=2，4，6，…时，由式(42)和式(21)可得谐波成分Uh(uv)如下:

当n=2，4，6，…，k=1，3，5，…时，由式(43)和式(21)可得谐波成分Uh(uv)如下:

由式(46)和式(47)可知，差频为 nωs±的谐波幅值恒为0，这是因为式(37)所示的Y(t)实际上是3ω1的奇数倍次谐波的集合，即这些谐波都是零序分量，所以在三相对称负载中相互抵消了。

5.4 SAPWM的频谱分析

由图7可知，鞍形波是 f(t)和 Y(t)合成的结果，其两个峰值落在f(t)与Y(t)的交点处，只有正弦波的但其输出能力却与f(t)相当。换言之，鞍形波在调制深度时与正弦波的M =1时的输出是等效的。但对鞍形波而言，其直流母线电压尚未得到充分利用，为此，鞍形波的幅值可以进一步提高到即由式(16)有

这就是通常所说的鞍形波可提高输出电压约15.47%的依据。

与此同时，基波频域还含有式(37)的各项，亦即式(40)第一项所代表的各谐波(当m=0，1，2，3，…时)其幅值也提高到由式(34)有

同理，由式(18)和式(19)可得谐波分量(nωs±kω1)的振幅为

与此同时，鞍形波还包含由Y(t)生成的如式(42)和式(43)所示的角频率为nωs±k2m+ ( 1) Ω1的各次谐波，其振幅为式(44)的倍，即

显然，SAPWM的谐波分量是式(50)和式(51)之和，比SPWM更多了。

图19和图20是本文所做的单相逆变器和三相逆变器的输出电压频谱仿真，为能清晰看到谐波的分布情况，载波频率只取1.5kHz，调制波频率为50Hz。可以看出，无论在基波频域还是在nωs频域，SAPWM的谐波都比SPWM多，因此SAPWM不适于单相桥式逆变器的应用。

图19 单相逆变器的输出电压频谱Fig．19 Output voltage spectrum of single phase inverter

图20 三相逆变器的输出电压频谱Fig．20 Output voltage spectrum of 3-phase inverter

但对于三相逆变器，由式(46)和式(47)可知，Y(t)所产生的谐波都是零序分量，在输出线电压中都抵消了，所以不存在式(51)的谐波，参阅图20，图中只有ω1与ωs的差频分量，而没有(2m+1)Ω1(Ω1=3ω1)与ωs的差频分量。因此，SAPWM的差频波仍然还是式(18)和式(19)所示SPWM调制时的(nωs±kω1)，即谐波成分没有增加，但其幅值却有很大不同。下面进一步分析。

图21为SAPWM的脉冲序列。虽然SAPWM可以分解成f(t)和Y(t)来分析其输出电压幅值，但其PWM调制却是依靠f(t)和Y(t)合成后的波形来实施的。观察图7和图12可以明显看出，由于鞍形波波形的固有特性，从其过零点到波顶，脉冲宽度的变化范围为而SPWM的变化范围为(0.5～1)Ts。特别是 SAPWM，在 π/6～5π/6和 7π/6～11π/6区间，调制波幅值只在0.75～0.866)之间变化，而SPWM却是在0.5～1之间变化(比较图21和图11)，显然，SAPWM生成的脉冲宽度的变化范围小于 SPWM。联系到式(18)和式(19)，调制波与载波生成的在各载波频域nωs的边频带，即差频波kω1±nωs的幅值与贝塞尔系数直接相关。由图12可知，M越小，由θ1和θ2所决定的相邻脉冲宽度的差异性就越小，这就使得式(18)和式(19)中kω1)和的幅值变化越小。因此SAPWM的差频波幅值变化较SPWM小，如图19和图20所示。两图都表示，在基波ω1幅值相同情况下，SAPWM在一次载波频域边频带2ω1和4ω1较SPWM小，同时SAPWM和SPWM都只含有差频波而没有3ω1)与ωs的差频分量。由于SAPWM差频波幅值的变化较SPWM小，所以有明显的正负序谐波对，且幅值也较小，而SPWM则不然。但在二次载波频域2ωs，由于Jk(Mnπ/2)中的n增大了，相应地M的权重削弱了，此时SPWM和SAPWM的电压、电流、转矩幅值几乎相当。但一般人们只考虑一次载波频域的频谱特性，因为二次载波频域的频率都较高，逆变器输出端的感抗成倍增大，谐波电流实际上很小。至于脉动转矩，由于其远离基波频域，对系统也不敏感。

图22～图24是文献［20，22］的仿真结果，其载波频率为1.95kHz，基波为50Hz，即载波频率比为39，图中以39示之，则1表示基波ω1，41表示ωs+ 2ω1=39+2，43表示ωs+4ω1=39+4，依此类推。可以看出，图22中SAPWM差频波比SPWM更丰富，既有正序分量43，也有负序分量41，而SPWM的差频波较少，只有正序分量43，幅值远大于SAPWM，其负序分量41小到几乎为0;这些正负序分量所产生的差频波电流如图23所示，谐波电流与谐波电压保持着相同的关系。SAPWM的差频波虽然较SPWM多，但其幅值较小，故总谐波有效值反而减小，总谐波失真和总谐波损耗也相对减小;这些正负序电流相互作用的结果使得脉动转矩在一定程度上相互抵消，所以鞍形波能有效抑制转矩脉动，如图24所示。显然SAPWM的脉动转矩较多，但幅值较小，而SPWM的脉动转矩较少，但幅值却很大。

图21 SAPWM的脉冲序列Fig．21 Generation of pulse sequence of SAPWM

图22 三相逆变器输出电压的频谱Fig．22 Output voltage spectrum of three-phase inverter

图23 三相逆变器输出电流的频谱Fig．23 Output current spectrum of three-phase inverter

图24 三相逆变器输出转矩的频谱Fig．24 Output torque spectrum of three-phase inverter

从图22～图24可以看出，无论是SPWM还是SAPWM，在基波频域除了基波分量外，没有谐波，这是人们所期待的。由于载波频率比为39，故一次载波频率在横轴上的39处(在图中横轴上36～42之间，未标上)，二次载波频率在78处，等等。从图22可以看出，在一次载波频域处存在载波和基波的偶次(2，4，…)差频波35、37、41、43次等，显然SPWM的差频波幅值大于SAPWM。而图23中SPWM的差频波电流为37、41次，SAPWM的差频波电流为35、37、41、43。换句话说，SAPWM的谐波电流比SPWM明显小而分散，因此谐波损耗明显减小。从图24可以看出，SPWM的转矩为36和42，而SAPWM的谐波转矩为30、36、42、48，前者的幅值远大于后者。这是由于在SAPWM中，正、负序谐波电流(比如43、41)与基波电流相互作用生成的谐波转矩(比如42)相抵的缘故，所以，SAPWM的脉动转矩较SPWM小而分散。

6 结论

本文详细阐述了SAPWM的优化方法，展示了SAPWM的良好效果。指出SVPWM是利用空间电压矢量概念进行PWM的一种方法，并非就是鞍形波，鞍形波是SVPWM的一个特例，因为由其生成的脉冲序列有无数个解，只有对该脉冲序列进行左右平均分配才是最简便的脉冲处置方法，并没有鞍形波的概念，所以也无从用本文的方法进行数学分析。SAPWM是在模式优化过程中发现，当正弦调制波的上下包络线对称于横轴时，能获得最优输出特性，其几何、物理意义都非常明晰。由于SAPWM调制波的固有特点，在相同输出电压条件下，所需的调制深度较SPWM小，使得其在各载波频域中具有更丰富的差频波;但该差频波的幅值较SPWM小，故其总谐波失真和总谐波损耗减小，且其正负序分量产生的脉动转矩在一定程度上相互抵消，有效地抑制了转矩脉动;SAPWM能进一步提高调制深度，有利于提高直流母线电压利用率，从而成为三相逆变器的一种最优调制波。文章在SPWM数学分析的基础上，进一步用傅里叶级数展开法对SAPWM进行了深入的数学分析，逐一论证了SAPWM成为最优调制模式的理论依据。本文的数学分析方法较其他分析方法简捷、明确、易懂，可节省大量的推导工作量。

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(，cont．on p.28)(，cont．from p.16)

Mathematical analysis on saddle waveform PWM based on isosceles triangle carrier wave

CHEN Guo-cheng1，2，CAI Li-qing1，ZHOU Qin-li1，GU Hong-bing1，LEI Dian1，2
(1．Giant Industry Technology Co．Ltd．，Changzhou 200122，China; 2．Department of Automation，Shanghai University，Shanghai 200072，China)

This paper aimed at clarifying the prevalent point of view that the SVPWM is identical to the SAPWM，the optimization method of SAPWM is explained in detail，and the excellent results of SAPWM are easy to be discerned．SVPWM is not SAPWM，it uses the concept of space voltage vector，and SAPWM is a special case of SVPWM．In the pattern optimization process of SAPWM，it is found that when the upper and lower envelope modulation sine waves are symmetrical in the horizontal coordinates，the optimum output characteristics can be obtained，and its meaning is very clear in geometry as well as physical．Owing to the inherent characteristics of SAPWM，when the output voltage is identical，the required depth of modulation is smaller than SPWM，such that there are more difference frequency waves in carrier wave frequency domain．However，compared with SPWM，the amplitude of difference frequency waves is smaller，so the total harmonic distortion and total harmonic loss are reduced to some extent，and the positive and negative sequence components of the cogging torque generated cancel each other，that effectively suppresses the torque pulsation．SAPWM can further raise the modulation depth，and help to improve the DC bus voltage utilization，thus becoming an optimal modulation pattern used in three-phase inverter．On the basis of SPWM mathematical analysis，we made thorough analysis with the use of the Fourier series expansion method for SAPWM，demonstrated the proofs that make SAPWM the optimal modulation pattern．Mathematical analysis of this paper is simpler compared to other analytical methods，clear and easy to understand，and a lot of derivation workload can be saved．

inverter;pulse width modulation;harmonics;torque ripple;spectrum;space voltage vector

TM464

A

1003-3076(2015)09-0002-15

2015-03-03

陈国呈(1944-)，男，福建籍，教授，博士生导师，主要研究方向为电机驱动及新能源发电;蔡立清(1970-)，男，安徽籍，工程师，主要研究方向为新能源发电逆变器、通信系统。