高中数学中恒成立问题的分析

薛蕊

恒成立的数学问题是有一定难度、综合性强的题型，是学习中经常遇到的问题，拿到这类问题，我们往往不知道从哪入手，是我们学习中的难点。下面从函数定义域、值域、不等式、立体几何四大类问题中的恒成立题型作具体剖析，希望能帮助我们提高分析数学问题、解决数学理论和实际应用题的能力。

一、定义域中恒成立

案例1 若函数f（x）= 的定义域为R，则a的取值范围是什么？

解：∵f（x）= 的定义域为x∈R

∴2x -2ax-a-1≥0恒成立，即x2-2ax-a≥0恒成立.

∴ Δ≤0即（2a）2-4×（-a）≤0，解得-1≤a≤0.

案例2 若函数f（x）=lg（ax2+ax+1）的定义域为实数集R，求a的取值范围？

解：∵f（x）=lg（ax2+ax+1）的定义域为实数集R

∴ax2+ax+1>0在R上恒成立

∴a=01>0或a>0Δ=a2-4a<0

∴0≤a≤4

二、值域中的恒成立

案例3 若函数f（x）=lg（ax2+ax+1）的值域为实数集R，求a的取值范围？

解：∵f（x）=lg（ax2+ax+1）的值域为实数集R

∴区间（0，+∞）是函数u=ax2+ax+1的值域的子区间

∴当a=0时，u=1（不合题意）或a>0Δ=a2-4a≥0

∴a≥4

三、不等式中的恒成立问题

案例4 若不等式2x-1+x+2≥a2+ a+2对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围？

解：令f（x）=2x-1+x+2

则，f（x）=-3x-1，x≤-2-x+3，-2

由此可得f（x）min= ，即f（x）min= ≥a2+ a+2，

解不等式得-1≤a≤ 。

案例5 集合A={t|t2-4≤0}，对于满足集合A的所有实数t，则使不等式x2+tx-t>2x-1恒成立的x的取值范围是什么？

解：∵A={t|t2-4≤0}，

∴A=[-2，2]，

∵（x-1）t+x2-2x+1>0对t∈A恒成立，

∴f（t）=（x-1）t+x2-2x+1对t∈[-2，2]恒有f（t）>0，

∴f（-2）>0f（2）>0即x2-4x+3>0x2-1>0，

解得x>3或x<1x>1或x<-1

∴x的取值范围为：x>3或x<-1

四、立体几何中的恒成立

高中数学中立体几何内容涉及线与线、线与面、面与面的位置关系，主要是垂直和平行关系的应用。其中不乏有趣味的几何问题，如图1所示，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分别是棱C1C、C1D1、D1D、DC、BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件时，就有MN∥平面B1BDD1。

解：连结FH、HN，则FH∥DD1，HN∥BD，

∴FH∥平面B1BDD1，HN∥平面B1BDD1，

∴平面FHN∥平面B1BDD1，

∴当M在线段FH上时，MN？奂平面FHN，

∴MN∥平面B1BDD1.即点M在线段FH上时，就有MN∥平面B1BDD1。

案例6 已知：△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，点E、F分别在线段AC、AD上运动，且 = =λ（0<λ<1）。

求证：在0<λ<1上，对λ取任何值都有：平面BEF⊥平面ABC。

证明：∵AB⊥平面BCD，而CD？奂面BCD，

∴AB⊥CD，∵∠BCD=90°，即BC⊥CD，而AB∩BC=B，

∴CD⊥平面ABC……①

∵ = =λ（0<λ<1）

∴EF∥CD……②

由①②得：EF⊥平面ABC，而EF？奂面BEF

∴0<λ<1对λ取任何值都有：平面BEF⊥平面ABC。

说明：对于线与面的平行，主要是直线与平面无公共点，其中一个判定方法是：如果一条直线在某个平面内，并且这个平面与另外的平面平行，当然有这条直线与另外这个平面无公共点即平行，第一例就是应用此判定方法。第二例用到直线与平面垂直，那么过这条直线的所有平面都与这个平面垂直。实际上，这儿过直线CD或EF的任一平面都与平面ABC垂直。

编辑 李 姣