开拓思维空间提高解题技巧

华瑞芬

在求解数学问题时，若能开拓思维空间，采用灵活多样的解题策略，往往可以以巧取胜，提高解题技巧，收到事半功倍的效果，提高思维的品质.下面举例说明，相信同学们能够从中受到有益的启示.

一、回归定义

在解答某些问题时，回归定义常常可获得题设信息所固有的本质属性，达到合理运算，准确判断，灵活选择的目的.

例1若a=ln22， b=ln33， c=ln55，则（ ）.

A. a

C. c

解析∵a-b=ln22-ln33=3ln2-2ln36=ln8-ln96<0，

a-c=ln22-ln55=5ln2-2ln510=ln32-ln2510>0，

∴本题应选C.

点评平凡的解法，神奇的效果，使解题过程简单明了.

二、整体代换

此法无需考虑问题的细枝末节，而是注重通览全局，将问题作为一个完整的整体，通过分析问题的整体结构特征，通过整体代换，达到快捷求解的目的.

例2求sin10°·sin30°·sin50° · sin70°的值.

解析设A=sin10°·sin30°·sin50°·sin70°，B=cos10°·cos30°·cos50°·cos70°，则A·B=116sin20°·sin60°·sin80°·sin140°=116cos10°·cos30°·cos50°·cos70°=116B.

∵B≠0，∴A=116，即sin10°·sin30°·sin50°·sin70°=116.

点评根据已知三角式的整体结构，采用整体代换的方法，构造一个对偶式，于是将问题化繁为简，快速获解.

三、巧用特值

通过选取恰当的特殊数值进行简单的运算、推理或判断，可使问题快速获解.

例3已知y=f （x）是定义在R上的单调函数，实数x1≠x2，λ≠-1，α=x1+λx21+λ，β=x2+λx11+λ，若|f （x1）-f （x2）|<|f （α）-f （β）|，则（ ）.

A. λ<0 B. λ=0

C. 0<λ<1 D. λ≥1

解析由α、β的给出形式，不难联想到定比分点公式.若设A、B、P、Q分别是x1、x2、α、β在数轴上的对应点，则P、Q分向量AB、BA的比都是λ，又因为y=f （x）是单调函数，所以|f （x1）-f （x2）|<|f （α）-f （β）||x1-x2|<|α-β|，所以P是向量AB的外分点，从而λ<0.

若令f （x）=x，则可立即得出λ<0.

故应选A.

四、活用性质

许多数学问题利用性质都可顺利求解，因此对于数学中的一些性质我们务必要熟记，常会为解题带来方便.

例4设f -1（x）是函数f （x）=12（ax-a-x）（a>1）的反函数，则使得f -1（x）>1成立的x的取值范围是（ ）.

A. （a2-12a， +∞） B. （-∞，a2-12a）

C.（a2-12a， a） D. [a， +∞）

解析由a>1可知，f （x）是R上的递增函数，又f -1（x）>1，∴f [f -1（x）]>f （1），根据反函数的性质有x>f （1）=a2-12a.

故应选A.

五、数形结合

有些数学问题都具有鲜明的几何意义，解题时若能够数形结合，以形帮数，则可使问题快捷获解.

例5已知方程f （x）=（x-a）（x-b）-2（其中a

A. α

C. a<α

图1解析a、b是方程q（x）=（x-a）（x-b）=0的两根，作出函数f （x）、q （x）的图象，如图1所示.因此本题应选A.

点评有时解题思路难以打开，往往是由于数形分离所致，此时若能够认真分析题目的数形结合特征，从形中觅数，数中思形，常常可以快速地寻找到解题的突破口.

六、巧用估算

许多选择题都有一定的运算量，常规解法是列式计算，既费时又费力.若进行深层次的思考，常常只需一些简单的估算即可得出正确的结论来.

例6已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球的表面积是（ ）.

A.16π4 B.8π3 C.4π D. 64π9

解析对于本题若先算出球的半径R，然后求球的表面积，是“小题大做”.其实对R作估算即可排除三个错误选项，注意到R不小于△ABC的外接圆半径233，故得S=4πR2≥4π（233）2=16π3，选项A、B、C的值都小于16π3.

故应选D.

七、特殊化法

对于一些选择题，运用特殊化方法求解，不仅可以快速获解，并且有利于提高思维的敏捷性.常用的特殊方法有：取特殊值、选特殊点、找特殊角、构特殊函数、画特殊图形等.

例7椭圆x29+y24=1的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是.

解析设P（x， y），当∠F1PF2=90°时，点P的轨迹方程为x2+y2=5，由此可得点P的横坐标x=±35，又当点P在x轴上时，∠F1PF2=0°；点P在y轴上时，∠F1PF2为钝角，由此可得点P横坐标的取值范围是-35

八、活用结论

对于某些典型问题的结论若能熟记于心，常常会使解题走入捷径，凸显奇效，快速求解.

例8两条异面直线称为“一对”，则在正方体八个顶点间的所有连线中，成为异面直线的共有多少对？

解析如果以其中一条棱进行分类的话，很难搞清“重”与“漏”，然而大家对以下两题很熟悉：（1） 以正方体的八个顶点为顶点的三棱锥有多少个？（2） 如果两条异面直线称为“一对”的话，一个三棱锥中有多少对异面直线？故可将本题分解成两个熟悉的问题，即考虑一种对应.由于（1）的答案是C48-12=58个；（2）的答案是3对，故本题的答案为58×3=174对.

点评本题若直接寻找异面直线的对数，既繁琐还容易遗漏，而通过引入三棱锥，经过简单的计算三棱锥的个数，使得三棱锥的个数与异面直线的对数建立了一一对应关系，从而使问题转化为我们所熟悉的问题，

九、灵活转化

把不易解决的问题，通过灵活转化归结为熟悉易解的问题，从而达到快速求解的目的.

例9已知数列{xn}满足x2=x12，xn=12（xn-1+xn-2），n=3， 4， ….limn→∞xn=2，则x1=（ ）.

A.32 B. 3 C.1 D. 5

解析在已知递推式两边同时加上12xn-1，得到一个新的递推关系：xn+12xn-1=xn-1+12xn-2.显然数列{xn+1+12xn}是常数数列，并且xn+12xn-1=x2+12x1=x1，在该式两边同时取极限，得2+1=x1.

应选B.

点评将非常规的数列问题转换为等差、等比数列问题，是解决此类问题的基本方法.不过，切入点不同，繁简程度则会大相径庭.

（收稿日期：2014-12-20）