站在学生的角度考虑问题

方勇嘉

从人的成长阶段看，学生是未成年人，教师是经历了中学读书阶段、大学进一步的求知进修阶段及参加工作后的历练阶段，无论心智还是看问题的角度都和学生有所差别，这是正常的，不正常的是教师在授课时，特别是讲评作业习题时不站在学生的角度考虑.学生只是一味的“傻听”，过后即便叫他原题重做一遍也不会，所以常常听到教师这样的疑惑：讲完课后问学生“听懂了吗？”学生都答“听懂了！”但解题时却是“我不会！”为什么学生听懂的知识却不会用呢？问题在于教师是怎么让学生“听懂”.进一步地，学生是“真懂”还是“假懂”？笔者想“假懂”的原因是学生没有自己思考过，还有教师讲的方法不切学生的实际？以后类似的题目出现学生还是不会做.在教师剖析一些高考题时产生这种现象非常普遍.

图1例1（2011年重庆理20）如图1，椭圆的中心为原点O，离心率e=22，一条准线的方程为x=22.

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

为400元的概率为425；

（Ⅱ）设销售三台这种家用电器的销售利润总和为300元为事件B，则P（B）=25×25×25+C23×25×25×25=32125.

故销售三台这种家用电器的利润总和为300元的概率为32125.

点评（Ⅱ）中利用独立重复事件和互斥事件的概念把求解转化为几个事件概率和与积的形式，其实体现了一种“拆分”的解题思路.

四、n次独立重复试验发生k次的概率

n次独立重复试验发生k次的概率一般使用公式Pn（k）=Cknpk（1-p）n-k进行计算，因此把问题转化为独立重复试验问题是解决问题的关键.

例4已知在3支不同编号的枪中有2支已经试射校正过，1支未经试射校正.某射手若使用其中校正过的枪，每射击一次击中目标的概率为45；若使用其中未校正的枪，每射击一次击中目标的概率为15，假定每次射击是否击中目标相互之间没有影响.

（Ⅰ）若该射手用其中2支已经试射校正过的枪各射击一次，求目标被击中的次数为偶数的概率；

（Ⅱ）若该射手用这3支枪各射击一次，求目标至多被击中一次的概率.

解（Ⅰ）若“该射手用其中2支已经试射校正过的枪各射击一次，目标被击中的次数为i”为事件Ai（i=0，1，2），则A0，A1，A2彼此互斥；

记“该射手用这2支已经试射校正过的枪各射击一次，目标被击中的次数为偶数”为事件B.

因为P（A0）=C02（1-45）2=125，P（A2）=C22（45）2=1625，所以P（B）=P（A0）+P（A2）=125+1625=1725.故目标被击中的次数为偶数的概率为1725.

（Ⅱ）记“该射手用3支枪各射击一次，目标被击中的次数为i”为事件Ci（i=0，1，2，3），则C0，C1，C2，C3彼此互斥；记“该射手用这3支枪各射击一次，目标至多被击中一次”为事件D.

因为P（C0）=C22（15）2×（1-15）=4125；P（C1）=C12×45×15×45+C02×（15）2×15=33125；所以P（D）=P（C0）+P（C1）=4125+33125=37125.

点评本题中两支已经试射校正过的枪射中目标的概率是相等的，用这两支枪进行射击可以看成独立重复试验，而另一支没有试射校正过的枪进行射击时必须单独进行考虑，这也是本题难点所在.（Ⅱ）中就采用了这种方法，这里需要注意的是，必须把所有情况考虑全面才能得出正确结论.

（收稿日期：2014-11-15）（Ⅱ）设动点P满足：OP=OM+2ON，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为-12，问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由.

解（Ⅰ）易求椭圆的标准方程为

x24+y22=1.

（Ⅱ）（命题组给出的答案）设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2）则由OP=OM+2ON得（x，y）=（x1，y1）+2（x2，y2）=（x1+2x2，y1+2y2），即x=x1+2x2，y=y1+2y2.

因为点M，N在椭圆x2+2y2=4上，所以x21+2y21=4，x22+2y22=4，故

x2+2y2=（x21+4x22+4x1x2）+2（y21+4y22+4y1y2）

=（x21+2y21）+4（x22+2y22）+4（x1x2+2y1y2）

=20+4（x1x2+2y1y2） （*）

设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知kOM·kON=y1y2x1x2=-12，因此x1x2+2y1y2=0，所以x2+2y2=20.

所以P点是椭圆x2（25）2+y2（10）2=1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值，又因为c=（25）2-（10）2=10，所以两焦点的坐标为F1（-10，0），F2（10，0）.

评析教师都知道，本题用意是由五个式子：x=x1+2x2，y=y1+2y2，x21+2y21=4，x22+2y22=4，x1x2+2y1y2=0消去x1，x2，y1，y2留下含x，y的轨迹方程.不要说学生想不到，教师一时也想不到.难怪学生看了标准答案后，对（*）这一步感到一头雾水，惊叹其真是“神来之笔”，怎么如此高明，不多不少，不偏不倚，恰好想到x2+2y2=？

新课改以来，教材对消参法求轨迹有所减弱，更不用说四个参数一起消去.所以命题组提供的方法是不适合学生的，他们以命题专家的眼光看待问题，和学生“学情”是脱节的，尽管高考题是选拔人才的.笔者认为引起点P运动的“罪魁祸首”是直线OM和ON的运动，所以斜率作为自变量再恰当不过了，又两者斜率都存在，且有关系，只要设其中一个斜率即可.下面解法是笔者给出的，学生赞赏有加.

另解设ON方程为：y=kx，则OM方程为y=-12kx，由y=kx

x2+2y2-4=0，得x2=41+2k2，y2=4k21+2k2，不妨取N坐标为（21+2k2，2k1+2k2），将k替换成-12k即得M的坐标为（-22k1+2k2，21+2k2）.设P坐标为（x，y），则由OP=OM+2ON，得y=2+4k1+2k2

x=4-22k1+2k2，消去k，得（x2）2+（y2）2=5，即x2（25）2+y2（10）2=1，下略.

纵观一些高考题标准答案，教师和学生有时很难想到，若教师上课时照搬标准答案讲评，学生只能“望题兴叹”，啧啧称奇，自愧不如，要想提高学生解题能力似乎是困难了.所以笔者有一习惯，自己先做高考题，再和标准答案比照，有时候觉得比标准答案略微逊色，但却是“真情流露”，解法朴实、自然，和学生没有“代沟”.

解析几何中直线与圆锥曲线位置关系很复杂的题目，要求考生对直线与圆锥曲线位置关系特征有较好的理解，拥有较强的探究转化能力、较强的符号运算能力、较强的代数式恒等变形能力才能解决此类问题.从历年高考题看，有些参考答案接近学生水平，有些确实“巧夺天工”，可望而不可及也，但只要我们用心去钻研、领悟，不要让所谓标准答案牵着鼻子走，都能找到和学生思维接轨的解法，

站在学生角度考虑问题还要俯下身来倾听学生的解法，尤其年长的教师多年的教学养成了“教学定势”，对一些“小儿科”的问题不放在眼里，轻描淡写地过去了.笔者有一习惯就是喜欢叫学生提出不同的解题方法，一方面这种解法是学生提出，适合他们口味，能引起其他学生共鸣，并且对提出解法的学生也是一种鼓励和鞭策；另一方面确实能促进教师的专业成长，从他们解法中得到一些启示，为今后教学服务.下面一题就是笔者提出传统做法后，学生又提出了新方法.

例2已知直线l：2x-3y+1=0，点P1（-1，-2），

（1）求点P1关于直线l的对称点P2的坐标；

（2）求直线l关于点P1对称的直线l′的方程.