不确定性线性系统研究的现状与方法

张玲 赵鹏起 孙立伟

摘 要：该文主要从现代控制理论存在问题、主要特征和研究现况等方面对不确定性线性系统进行充分调研，从而得出现代控制理论需要增加数学方法研究，希望对现代控制理论研究有所帮助。

关键词：不确定性 线性系统 鲁棒理论 软约束

中图分类号：TP13 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）03（c）-0011-01

20世纪中叶，伴随现代控制理论的蓬勃发展，线性系统理论也开始引起学者关注，成熟的线性理论系统都要求建立精确的线性数学模型，这也是经典理论存在的缺点，它难以有效处理不确定性或受约束的系统。科学家卡尔曼将状态空间的描述引入到线性系统控制理论中，使得线性系统的研究方法和研究内容都取得一系列新突破。

1 现代工业控制理论

1.1 现代控制理论存在的问题

（1）现代控制理论对于被控对象数学模型的精确度过分依赖。

实际工业生产过程中，精确的数学模型难以建立，如果建立起精确的工业生产模型，往往由于模型过于复杂难以得出合理的理论，从而不得不对于控制器进行简化合并。

（2）生产过程非理想过程。

实际工业生产过程由于温度和外部干扰经常伴随着非线性或不确定性变化。这种不确定性不可能通过精确的数学计算而得到，因此数学意义上的最优化处理对于实际过程就失去实际意义，甚至会出现反作用，导致产品品质严重下降而无法正常生产。

（3）状态空间法本身的缺陷。

实际应用领域中，各种生产过程、设备等对象是动态变化，难以精确的描述；即使获得精确的数学模型，由于条件多，过于复杂现有控制系统无法实现，因此对这类数学模型进行简化。另外，设计出的精确模型，随着生产过程中工作条件变化，控制系统内和被控对象都发生变化，这种因素的变化使数学模型不可避免的存在误差。

1.2 现代工业控制显著特征

现代工业生产过程关联复杂，研究对象结构和参数时变，环境干扰不确定性等特征，然而传统的优化控制需要精确的数学模型，往往优于单纯调节，现在问题在于如何适应动态控制中，形成符合复杂工业过程优化控制模式。

目前复杂工业控制优化问题与传统理论不一致，它的主要特征如下。

（1）性能指标与约束条件。

传统控制理论中，优化的性能指标和约束条件界限分明，而在复杂的工业环境中，二者的区别已被淡化，而且可以相互转化。

（2）约束条件分类。

根据要求条件的重要性，约束条件分为三类：

根据控制系统物理性质和安全性考虑，对控制变量有着硬性要求，也就是“硬约束”，这类要求在控制过程中必须满足，否则违反规定或不能实现目标。

“软约束”条件为满足某种产品质量要求，存在一些弹性变化。例如控制水分含量在5%以内，0%～5%是软约束，一旦超过5%时，就破坏产品质量，从而“软约束”转化为“硬约束”。

为提高生产效率和产品质量，从而追求更高附加值，从而进一步考虑一种“更软的约束”，这就需要不确定性模型和约束条件。

现代复杂工业控制对象中几乎所有的控制系统都有不确定性约束条件，尤其是随着产品质量和经济效益要求不断提高，从而使的控制系統的工作点不断接近边缘化，此时，线性有约束不确定系统优化控制问题研究就具有很重要的实际意义。

2 研究现状和主要方法

有约束的线性不确定控制问题主要是研究不确定线性系统，在固定条件下设计控制系统从而获得某种性能指标最优，即最优化控制。所用方法有中，约束控制方法保证系统稳定性的同时存在非线性控制规律；拉格朗日乘子法解决具有初始状态线性约束控制问题；凸集合理论用作解决有状态和控制约束的线性离散系统控制问题；滚动优化策略实现约束系统的控制问题，但对于解决二次型导致的非线性困难具有较重的计算负担。

2.1 鲁棒理论

为能够广泛应用现代控制理论，自适应控制盒鲁棒控制成为控制理论研究热点。一般而言，系统的数学模型与实际中参数有些差异，而实际生产中控制大多基于数学模型，为减少外界系统干扰和系统不确定，促进研究鲁棒控制问题，这样控制研究的重点变为线性矩阵不等式的攻克。为进一步解决实际生产过程中最优化控制问题，很多数学工具被充分利用，例如变分法、动态规划和极大值原理。

2.2 滚动时域控制

滚动时域控制是一种新型控制方法，又被称为模型预测控制。其最大优点在于能够优化并显示被系统约束条件，并且动态满足，但它不能采用全局优化目标，而是采用滚动时域策略。这种策略操作导致有限优化目标只能得到全局次优解，而难以兼顾失配、时变、干扰等引起的不确定性，从而难以及时进行弥补，因此需要把优化建立在实际生产的基础上，从而使保持实际最优。因此滚动时域控制需要兼顾未来长时间理想优化，又要考虑实际生产过程中不确定影响，从而适应复杂的实际生产环境。

2.3 线性矩阵不等式

随着求解凸优化问题，线性矩阵不等式再次受到控制界的关注，并且应用到系统控制的各领域。复杂控制问题多数可以转化为一个线性矩阵不等式系统的可行性问题，或者是一个具有线性矩阵不等式约束的优化问题。线性矩阵不等式优势在于可以应用求解凸优化问题并且可以有效方法求解。根据凸约束条件设计出控制器，不单得到满足设计的控制器，而且还得到任意凸约束条件的可行解，这样可以得到满足条件的一组控制器。

3 结语

通过对现代控制理论现况分析和研究进展的调研，从而得到数学中的线性矩阵不等式起着重要作用，从而为进一步理论研究提供参考依据。

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