基于加速度反馈的柔性系统机械谐振抑制研究*

金 杰， 王 爽， 黄苏融

(1.上海大学机电工程与自动化学院，上海 200072;2.山东工商学院信息与电子工程学院，山东烟台 264005)

0 引言

伺服驱动系统通常由伺服电机、联轴器、传动轴和机械负载组成。为提高系统动态响应和节约能源，驱动部件通常采用小型轻量化设计，但该设计会减小传动装置刚度，降低固有频率，当固有振荡频率位于调速系统的工作频带范围内，轴系就有可能出现机械振荡［1］。机械谐振带来诸多不利影响，如:缩短机械设备寿命，甚至损坏机械系统;降低驱动系统性能，严重时导致系统振荡;产生噪声污染，降低环境舒适性［2］。因此，机械谐振抑制已成为高性能伺服驱动的重要研究课题之一。

机械谐振抑制在机器人伺服驱动、太空机械臂驱动、探测天线驱动、风力发电、钢厂轧辊驱动等领域受到了广泛关注和深入研究［2-8］。众多研究方案大致可分为主动方式与被动方式两大类。被动方式主要有:(1)改进传动系统机械设计，提高传动装置固有频率;(2)在速度调节器后串接陷波滤波器，滤除固定的谐振频率分量［2］。主动方式即主动改变控制器参数或结构来消除系统谐振。主动方式可以分为:(1)基于负载侧传感器信息的谐振抑制［3］;(2)采用观测器方法的状态估计谐振抑制［4-7］;(3)采用智能算法的谐振抑制［8］。现有的研究方案主要是通过采用传感器方法或状态估计方法，将获得扰动力矩或加速度信息反馈到电流环进行谐振抑制。文献［9］对比分析了负载速度、加速度和柔性轴转矩等9类反馈补偿方法，研究结论表明加速度反馈也能取得与轴转矩反馈相同的效果。文献［10］指出加速度反馈能抑制系统谐振的同时无需增加速度环带宽，并给出了加速度反馈设计原则。文献［11］分析了 IP(integral-proportional)、m-IP(modified IP)和m-IPD(modified integral-proportional-derivative)三类低阶控制器对提高系统鲁棒性和扩大负载惯量比的影响，研究结论表明m-IPD能有效扩大负载惯量比，但微分环节正反馈降低了系统鲁棒性。文献［12］采用极点配置的方法研究了负载惯量的匹配范围，研究结论表明当惯量比在2～4之间，系统具有理想的阻尼。当惯量比＜1时，普通PI调节器已经不能满足动态性能要求。采用电机侧转速微分反馈虽然能将极点配置到合适位置，同理，微分正反馈也会降低系统的鲁棒性。

本文在文献［11-12］的基础上，分析了不同端口加速度反馈对系统极点分布的影响。根据惯量比的不同范围，采用不同端口的加速度反馈，实现电机惯量与负载惯量的合理匹配，达到抑制系统机械谐振和扩大负载惯量比的目的，同时，避免了速度微分正反馈所带来的鲁棒稳定性问题。

1 柔性系统数学模型

由电机与柔性负载构成的传动系统框图如图1所示，其中JM为电机转动惯量、JL为负载转动惯量、KS为柔性联结弹性系数、KB为阻尼系数，Te为电磁转矩，电机端与负载端转速分别为 ωM和 ωL。

图1 柔性系统框图

在电磁转矩Te作用下，柔性联结产生弹性形变，形变转矩为KS× ( θM－ θL)。根据机械系统的运动方程，导出传动系统的矩阵方程为

由于 sθM=ωM，sθL=ωL，根据式(1)得到负载转速ωL到电磁转矩Te的传递函数为

式(2)右边第1项为刚体运动传递函数，第2项为柔性传动非线性传递函数。由于阻尼系数KB通常很小，对谐振频率的影响有限，因此不妨设阻尼系数KB=0。不难得到式(2)非线性传递函数的反谐振频率和谐振频率分别为

式中:R——负载惯量比，R=JL/JM。

由式(3)可知反谐振频率ωar只与弹性系数和负载惯量有关，与电机惯量无关;谐振频率ωr与弹性系数和负载惯量比有关，减小惯量比R谐振频率向反谐振频率点移动，有利于抑制系统谐振。

2 控制策略分析

基于多机械端口加速度反馈的柔性系统控制框图如图2所示。速度控制器采用IP结构，转速反馈取自于电机端口，加速度信号考虑取自于如下端口:电机侧机械输出端口(Case A);负载侧机械输出端口(Case B);柔性轴系两端的机械端口(Case C)。

图2 基于加速度反馈的柔性系统控制框图

2.1 无加速度反馈补偿

由于电流环带宽远高于速度环带宽，不妨设电流环传递函数Gi(s)=1。无加速度反馈时的传递函数，负载侧输出转速到转速指令的传递函数为

其中:a1=KSkp;a2=JLki+JLKS+JMKS;a3=JLkp;a4=JLJM。

对应的特征方程为

为使闭环系统具有期望的动态性能，设闭环系统的特征方程为

式中:ω1、ω2——自然谐振角频率;

ζ1、ζ2——阻尼比。

将式(7)展开，并与式(6)对比得到的IP控制器参数和约束条件分别为

由于IP调节器仅有一对可调节的参数(kp，ki)，因此不能对特征方程(7)的4个极点进行任意配置。假设谐振系统具有相同的阻尼比，即有ζ1= ζ2= ζ，则约束条件式(9)可简化为

通常要求系统的阻尼为0.7≤ζ≤1，因此对应的惯量比2≤R≤4。可见在无加速度反馈的条件下，系统匹配的惯量范围小，限制了驱动系统的应用范围。

2.2 电机侧加速度反馈补偿

采用电机侧机械端口加速度反馈补偿(Case

考虑到ω1，ω2是一个非负实数，所以有:A)时，闭环系统的特征方程为

对比式(12)与期望特征方程式(7)的系数，得IP控制器参数和约束条件为

其中:RM=JL/(JM+k1)。

同理，假设系统阻尼比ζ1=ζ2=ζ，则约束条件式(14)可简化为

进而可导出阻尼比约束条件为

当阻尼比0.7≤ζ≤1时，电机匹配的惯量比范围为

可见，采用电机侧加速度反馈，相当于增加了电机转子惯量，减小了转动惯量比，增加了电机带大惯量负载的能力，所以该反馈方式适用于驱动大惯量负载的场合。

2.3 负载侧加速度反馈补偿

采用负载侧机械端口加速度反馈补偿(Case B)时，闭环系统的特征方程为

对比式(18)与期望特征方程式(7)的系数，得IP控制器参数和约束条件分别分布为

其中:RL=( JL+k2)/JM。

假设阻尼比ζ1=ζ2=ζ，则约束条件式(20)可简化为

同理，可推得系统阻尼比的约束条件为

当期望的阻尼比0.7≤ζ≤1时，则对应惯量比范围为

可见通过反馈负载端口加速度，相当于增加了负载的转动惯量，增大了系统的惯量比。对于小惯量负载驱动，采用该端口加速度反馈有利于机械谐振抑制。

2.4 轴系两端加速度反馈补偿

采用柔性轴系两端速度差加速度反馈补偿(Case C)时，系统的特征方程为

对比式(24)和期望特征方程式(7)的系数，得IP控制器参数表达式和约束方程分别为

假设阻尼比ζ1=ζ2=ζ，则约束条件式(18)可简化为

进而可推得阻尼比范围为

当阻尼比0.7≤ζ≤1时，系统的负载惯量比范围为

可见，采用柔性轴系两端的加速度差反馈时，相当于在减小负载惯量的同时增加电机转子惯量，大大减小了传动系统负载惯量比。对于相同的反馈系数，轴系两端加速度差反馈效果强于电机端口加速度反馈，适合于驱动更大惯量的负载。

通过上述分析可知，采用不同端口加速度反馈等效于改变传动系统电机和/或负载的机械惯量，针对不同转动惯量的机械负载，按表1选择不同端口加速度反馈方式，实现电机与负载惯量的合理匹配，进而达到抑制柔性系统机械谐振的目的。

由于IP调节器只有一对可调参数 ( kp，ki)，不能任意配置系统的四个极点，因此在采用加速度反馈时，需要对系统的阻尼作一个约束ζ1=ζ2=ζ，然后再调节加速度反馈系数 (ki，i=1，2，3)，使得闭环系统具有理想动态响应。

表1 不同端口加速度反馈的阻尼比与惯量比之间的关系

3 仿真试验

为验证不同机械端口加速度反馈对不同转动惯量柔性负载的谐振抑制，搭建基于MATLAB/Simulink的柔性负载伺服驱动仿真模型。其仿真参数如表2所示。

表2 仿真参数表

当惯量比R=0.2，即所带负载为小惯量负载，采用Case B所示的负载端口加速度反馈，得到系统极点分布如图3(a)所示，极点分布于ζ=0.7的线上，且远离虚轴。柔性轴系上的输出转矩和负载转速如图3(b)和图3(c)所示，可见采用负载端口加速度反馈，有利于提高转速响应，减少转矩波动，抑制系统谐振。

图3 R=0.2时的闭环极点、转速和转矩响应图

当惯量比R=4，即所带负载为中惯量负载，采用Case A所示的电机端口加速度反馈，得到系统极点分布如图4(a)所示，极点分布于ζ=0.7的线上，且远离虚轴。柔性轴系上的输出转矩和负载转速如图4(b)和图4(c)所示，可见采用电机端口加速度反馈，减少了负载惯量比，有利于提高转速响应，减少转矩波动，抑制系统谐振。

图4 R=4时的闭环极点、速度和转矩响应图

当惯量比R=8，即驱动大惯量负载，分别采用Case A和Case C两种加速度反馈，得到系统极点分布如图5(a)所示，采用两种反馈方式均能使极点分布在ζ=0.7的线上，但Case A的主导极点较Case C的极点离虚轴近，因此采用Case C加速度反馈的动态响应较Case A加速度反馈快，轴上的输出转矩和负载转速分别如图5(b)和图5(c)所示。可见两种反馈方式均能使得闭环系统具有期望的阻尼比，都能抑制系统的谐振，但轴系两端的加速度反馈效果较电机端口加速度反馈强，适合更大负载惯量比的场合。

图5 R=8时的闭环极点、转矩和速度阶跃响应图

通过对仿真结果分析可知，对于小惯量负载，采用Case B所示的负载端口加速度反馈，增加等效的负载转动惯量，实现惯量的合理匹配;对于中、大惯量负载，采用Case A和Case C所示的加速度反馈，增效增加电机的转动惯量，达到减小负载惯量比的目的，使得谐振频率向反谐振频率点移动，抑制系统谐振。此外，综合IP调节器设计，合理配置系统极点，提高系统动态性能，在抑制系统谐振的前提下提高系统的动态响应。

4 结语

对比研究不同机械端口加速度反馈对柔性系统谐振的影响，加速度反馈等效于改变负载的转动惯量，根据不同的负载惯量比采用不同端口的加速度反馈，合理匹配转动惯量，缩小谐振频率与反谐振频率的频带，达到抑制系统谐振的目的。同时综合IP调节器设计，合理配置系统极点，使得闭环系统具有理想的动态性能。仿真结果验证了本文结论的有效性，为采用加速度反馈方法抑制柔性系统机械谐振提供了理论指导。

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