浅谈等差数列的灵活运用

汪毅刚

等差数列是历年来高考的重点内容，学生必须充分认知和理解等差数列。这就要求学生不仅理解等差数列的概念，能够探索并掌握等差数列的通项公式，还能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题，还有体会等差数列与一次函数的关系。

一、从等距的角度开展等差数列的教学

根据等差数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。理解等差数列的关键在于理解“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”这句话，教学中必须让学生充分理解后一项与前一项都相差d，即an+1-an=d（常数）。

例如：下面的算式是按某种规律排列的：1+1，2+3，3+5，4+7，1+9，2+11，3+13，4+15，1+17，…问：（1）第1998个算式是（）+（）；（2）第（）个算式的和是2000。

解析：（1）第1个加数依次为1，2，3，4，1，2，3，4，…，每4个数循环一次，重复出现。1998÷4=499……2，所以第1998个算式的第1个加数是2。第二个加数依次为1，3，5，7，9，11，…，这是个首项为1，公差为2的等差数列。根据等差数列的通项公式可求出第1998个算式的第二个加数：1+（1998-1）×2=3995，所以第1998个算式是2+3995。

（2）由于每个算式的第二个加数是奇数，所以和是2000的算式的第1个加数一定是奇数，不会是2和4。只有1+x=2000或3+x=2000。其中，x是1，3，5，7，9……中的某个数。

若1+x=2000，则x=1999。根据等差数列的项数公式可得：（1999-1）÷2+1=1000，这说明1999是数列1，3，5，7，9…中的第1000个数。因为1000÷4=250，说明第1000个算式的第1个加数是4，与假设1+x=2000矛盾，所以x不等于1999。

若3+x=2000，则x=1997。与上同理，（1997-1）÷2+1=999，说明1997是等差数列1，3，5，7，9…中的第999个数。由于999÷4=249……3，说明第999个算式的第一个加数是3，因此第999个算式为3+1997=2000。

点评：第二个加数为等差数列，那么第n项的值an=首项+（项数-1）×公差，项数=（末项-首项）÷公差+1。利用这些公式，可以快速得到答案，而且还能确保正确率，运用起来十分灵活、方便。

等差数列是一个特殊的函数，因此在解决数列问题时，要灵活利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题。

二、从推导通项公式展开等差数列教学

教师在授课时要注重从具体生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。

例如：水库管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m.那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位（单位：m）组成一个什么数列？

教师：以上三个问题中的数蕴涵着三列数。

学生：18，15.5，13，10.5，8，

5.5。

教师：引导学生思考这三列数具有的共同特征，然后让学生抓住数列的特征，归纳得出等差数列概念。

学生：分组讨论，可能会有不同的答案：前数和后数的差符合一定规律；这些数都是按照一定顺序排列的……只要合理教师就要给予肯定。

教师引导归纳出：等差数列的定义；另外，教师引导学生从数学符号角度理解等差数列的定义。

点评：通过对一定数量感性材料的观察、分析，提炼出感性材料的本质属性；使学生体会到等差数列的规律和共同特点；一开始抓住“从第二项起，每一项与它的前一项的差为同一常数”，落实对等差数列概念的准确表达。

三、从一次函数角度理解等差数列的通项公式

从函数的角度来理解等差数列，合理运用数形结合思想直观简化问题，在解决等差数列的问题时，能事半功倍。函数思想是重要的数学思想，教师需要在平常教学时逐步渗透，如若在等差数列的教学过程中，对学生进行函数思想的熏陶，能拓展思维，使学生的知识网络不断优化与完善，使学生的思维能力不断发展与提高。

责任编辑 邹韵文endprint