学生为主体 教师为主导 问题为主线——“抛物线及其标准方程”教学设计

李 健

（北京景山学校，北京 100006）

学生为主体 教师为主导 问题为主线
——“抛物线及其标准方程”教学设计

李 健

（北京景山学校，北京 100006）

本节课先通过代数方法，得到抛物线的几何本质是平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹；再根据图形的对称性，得到四种不同形式的抛物线的标准方程，并确定相应的焦点坐标与准线方程；最后通过两个例题，使学生更熟悉抛物线的四种标准方程.

学生为主体 教师为主导 抛物线 标准方程

一、教学背景分析

（一）教学内容

本节课是人教A版选修1-1第二章“圆锥曲线与方程”第三节“抛物线”的第一小节.本节课的内容主要包括：通过引例研究抛物线的定义，再推导抛物线的标准方程，得到抛物线的一些简单性质.实际上，学生在初中阶段已经学习过二次函数的图像是抛物线，对抛物线的图形有很深的印象.在高中阶段也在反复地应用抛物线的图形特征研究一元二次不等式的解法、二次函数的最大（小）值等.抛物线作为圆锥曲线的一种，其研究方法和研究思路与椭圆、双曲线是一脉相承的.教材在对椭圆和双曲线进行详细讨论时，已经充分展现了研究解析几何问题的基本思路（通过定义研究标准方程，再通过方程研究曲线的几何性质）、基本方法（坐标法）与基本思想（数形结合）.本节课我们仍然沿用这种方法和思路讨论抛物线的定义与标准方程，使学生更进一步体会坐标法和数形结合的数学思想.

根据本节课的教学内容，确定本节课的教学重点为抛物线的定义和标准方程，教学难点为抛物线的标准方程的四种形式的区别.

（二）学生情况

本教学设计的教学对象是示范校高中二年级文科班的学生，大部分学生的基本素质和数学基础较好，有较强的理解能力和学习交流能力，认知水平相对较高，思维较为活跃.学生在初中已经学习过抛物线的有关知识，在高中也学习过椭圆和双曲线的知识，所以基本掌握了解析几何的基本思想方法，这些都是本节课学习的基础.

（三）教学方式

根据学生的实际情况，为了激发学生学习的积极性，体现学生的主体地位，更好地体会数形结合的数学思想，本节课主要采取“启发探究式”的教学方式.教师通过设置一系列问题“启发引导”学生去“自主探究”结论，从而达到学习目标.教师的引导将对学生深入理解坐标法及解析几何的本质起到催化剂的作用.

（四）教学手段

本节课采用多媒体投影与计算机辅助教学的教学手段.

（五）技术准备

课前制作几何画板课件和幻灯片演示文稿.

二、教学目标

（一）知识与技能目标

（1）了解抛物线的定义、几何图形和标准方程.

（2）了解抛物线四种形式的标准方程及其焦点坐标和准线方程.

（3）通过抛物线的标准方程的推导过程体会求曲线方程的方法.

（二）过程与方法目标

（1）通过“抛物线定义的探究”和“方程的推导”，培养学生观察、类比、分析、概括推理的能力，使学生进一步体会坐标法.

（2）通过“四种标准方程的对比与分析”及“性质的探究”，使学生学会反思与感悟，形成良好的数学观，并进一步感受数形结合的思想.

（三）情感、态度与价值观目标

通过观察、思考、解答等教学活动，进一步培养学生实事求是、勇于探索的学习态度，激发学生学习数学的兴趣.

三、教学过程

（一）情境引入

师：我们已经研究过椭圆和双曲线这两种圆锥曲线，今天我们再来研究另一种圆锥曲线.

首先，思考这样一个问题.

几何画板演示：

如图，点F是定点，l是不经过点F的定直线.H是l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M.拖动点H，观察点M的轨迹.

（引导学生观察，并回答以下问题.）

教师：你能发现点M满足的几何条件吗？

【设计意图】使学生先从点的几何特征的角度认识抛物线.

学生：根据垂直平分线的性质，动点M到定点F的距离等于M到定直线l的距离.

教师：点M的轨迹是什么图形？

【设计意图】使学生从图形的角度认识抛物线.

学生：抛物线.

教师：是初中所学的抛物线吗？为什么？

（学生回答不明确，说不清理由，因此教师追问.）

教师：初中是如何定义抛物线的？

【设计意图】启发学生利用已有知识研究问题，提高学生思维的严谨性.

学生：利用二次函数y=a x2+b x+c的图像来定义抛物线.

教师：也就是说，想说明这条曲线是抛物线，必须说明它确实是某个二次函数的图像.在解析几何中，任何一条曲线都可以通过建系找到所对应的方程.现在，建立适当的直角坐标系，求点M的轨迹方程.

【设计意图】使学生应用已有的解析几何知识，通过观察定点、定直线、轨迹的特点建立适当的平面直角坐标系，求轨迹方程.

设焦点F到准线l的距离为p（p＞0）.

（引导学生思考建系方式.）

（实际上，出现了以下三种建系方案：

方案一：取过定点F且垂直于准线l的直线为y轴，y轴与l交于点K，以线段K F的垂直平分线为x轴.

方案二：以l为x轴，过定点F与直线l垂直的直线为y轴建系.

方案三：以定点F为原点，平行于l的直线为x轴建系.

选取方案一和方案二的学生较多，选取方案三的学生很少.）

教师指导学生选择其中一种建系方式，求点M的轨迹方程.

（学生自主探究，推导点M的轨迹方程，并展示推导结果.）

（实际教学中，只有前两种方案的推导结果如下：

由于方案三不是本节课讨论的主要形式，因此就没有再加以关注，而是让学生课下思考.）

（二）讲授新课

无论哪种建系方案，得到的都是y关于x的二次函数.所以，点M的轨迹确实是初中所学的抛物线，而且从前面曲线的生成过程可以看出：曲线上的任意一点满足“到定点F的距离与到定直线l的距离相等”的几何条件.

【设计意图】使学生认识到满足这样的几何条件的点的轨迹确实是抛物线，因此自然地引出抛物线的定义.

1.抛物线的定义

把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.

（板书）

教师：从图形上看，抛物线与椭圆、双曲线最大的区别是什么？

学生：抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形，是非中心对称图形.

教师：从方程看，抛物线与椭圆、双曲线的区别是什么？

学生：方程中含变量x，y的项不都是2次项，有1次项.只依赖一个参数.

【设计意图】先从数、形两个角度认清抛物线与椭圆、双曲线的区别.

2.抛物线的标准方程

教师提问：按照以往的研究经验，研究完定义，就要研究标准方程.所以，你觉得应该选前面哪种方案推出的方程作为抛物线的标准方程？

（引导学生从方程形式的繁简、对称轴、焦点、方程有无常数项、顶点是否在原点等方面考虑.）

【设计意图】进一步明确解析几何的研究顺序：定义—标准方程.

（在教学实施过程中，学生可以直接看出x2=2p y（p＞0）作为标准方程比较合适.）

从上述计算过程可知，抛物线上任意一点的坐标都满足方程；以方程的解为坐标的点都满足到焦点的距离与到准线的距离相等.因此，它确实可以作为抛物线的方程.

我们把方程x2=2p y（p＞0）叫作抛物线的标准方程.它表示的抛物线的焦点坐标是（0，），准线方程是y=+.

椭圆、双曲线在不同的建系条件下，可以得到两种不同形式的标准方程.而由于抛物线只有一条对称轴，因此可以有以下四种不同的建系方式，可以对应得到四种不同形式的抛物线的标准方程.

【设计意图】类比椭圆与双曲线，明确抛物线标准方程的四种形式.

（分别给出四个图形，让学生回答所对应的开口方向、标准方程、焦点坐标和准线方程.）

（学生可以通过图形填出开口方向、标准方程、焦点坐标及准线方程.）

教师对抛物线的这四种形式进行总结.

【设计意图】总结抛物线标准方程的四种形式，便于学生记忆.

（引导学生自己总结，正确的加以肯定，有问题的加以引导、修正.）

总结规律如下：

（1）所建坐标系的共同特点.

（2）关于抛物线的标准方程：

①形式；

②通过抛物线的标准方程，判断焦点、对称轴在哪个（半）轴上；

③通过抛物线的标准方程，判断开口方向.

3.反馈练习

例1求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.

（1）y2=20x；（2）y=2x2.

【设计意图】熟悉并识别抛物线的标准方程的不同形式，并由标准方程求相应的焦点坐标和准线方程.

在求解的基础上，引导学生归纳由标准方程求焦点坐标和准线方程的步骤：

①化为标准方程；②定型；③定量；④求解.

例2求满足以下条件的抛物线的标准方程.

（1）焦点坐标为（1，0）；

（3）顶点是原点、对称轴是坐标轴，过点（3，+4）.

【设计意图】①进一步熟悉求抛物线的标准方程；②进一步熟悉待定系数法；③体会方程的思想.

引导学生归纳总结，用待定系数法求抛物线的标准方程的方法：

思考：

（1）抛物线y2=4x上一点到焦点的距离为3，则这个点的坐标是____.

（2）抛物线y2=2p x上有一点A（4，m）到准线的距离为6，则m=____.

【设计意图】了解抛物线的定义，能够应用定义解决问题.

4.归纳总结

本节课学习了抛物线的定义和四种形式的标准方程.学会根据抛物线的标准方程求抛物线的焦点坐标与准线方程，并根据已知条件求抛物线的标准方程.

四、学习效果评价设计

学习效果评价采取教师评价、学生评价和学生互评相结合的方式，具体包括以下几个方面的设计：

1.在探究动点运动的轨迹环节，通过课堂上学生的发言及时反馈学生的学习情况

（1）是否能够积极主动地参与探究活动并能够独立思考；

（2）是否能够自觉运用几何知识认识到动点所满足条件的几何本质；

（3）是否能够结合已有的抛物线定义，提出进一步解决问题的方法.

2.在推导抛物线的方程环节，通过学生的自主探究、展示交流，了解学生对解析几何的基本方法（坐标法）的掌握情况

（1）是否能够准确地用符号语言描述动点的运动规律，并能够顺利地转化为数学表达式；

（2）是否能够根据定点、定直线，轨迹的特点，建立适合的直角坐标系，完成坐标法的第一步；

（3）是否能够顺利地列式、化简、整理，得到轨迹的方程.

3.在确定抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程的环节，通过学生的讨论、交流、展示发言，了解学生对圆锥曲线的标准方程的理解

（1）是否能够准确地理解圆锥曲线的标准方程中“标准”二字；

（2）是否能够找出标准方程与焦点坐标、准线方程之间的关系；

（3）是否能够类比椭圆、双曲线，得到其他三种标准方程.

4.在反馈练习和归纳总结环节，了解学生对抛物线的定义、标准方程的认识程度和对数形结合思想的感知程度

（1）是否能够辨析抛物线的四个标准方程及其焦点坐标、准线方程；

（2）是否能够应用抛物线的定义解决一些简单的问题；

（3）是否对解析几何的基本思想、基本方法有了进一步的了解.

5.通过批改学生课后作业进一步获得教学效果的反馈信息，检查课堂教学的落实情况

五、教学反思

学习的过程是一个将外界的新信息不断地搭建在已有知识上的过程，是认知结构发生重组和改造的过程.本节课所要讲的抛物线就是学生已有的知识，本节课的目的就是要将已有知识更加明确化、本质化，给出抛物线的本质定义及标准方程.本教学设计以“学生为主体，教师为主导，问题为主线”的指导思想，逐步推进，完成既定的教学目标.反思整个教学过程，我有如下体会：1.课堂结构紧凑，完成既定目标

学生在初中曾经学习过抛物线的有关知识，并且已经学过椭圆和双曲线两种圆锥曲线的相关知识，基本形成了用代数方法解决几何问题的能力，对数形结合的思想方法有了较深的了解.所以，本节课在设计中充分考虑到学生的这一实际情况和认知规律，从学生熟悉的开口向上的抛物线出发，给出抛物线的本质定义，再类比椭圆、双曲线的研究顺序，讨论抛物线的标准方程及简单应用.整节课，从问题的提出到概念的形成，再到标准方程的定义，都是自然而连贯的，使学生自然地接受了四种开口方向的抛物线，完成了课前制订的教学目标.

2.教学目标明确，及时突破重点难点

为了突破重点难点，在教学设计中，采用了温故知新，循序渐进，逐层推进的方式，抓住了学生比较熟悉的开口向上的抛物线的特点，并结合轨迹方程的推导过程，自然地给出了抛物线的定义和标准方程，再次强化了用代数方法解决几何问题的基本途径——坐标法的应用.在后面例题的安排中，充分考虑到了四种标准方程的形式易混淆的特点，针对标准方程、开口方向、焦点坐标、准线方程进行巩固练习，使学生掌握先定型，再定量的解决问题的方法.

3.引入自然新颖，利于学生接受

本教学设计在引入环节打破了从开口向右的抛物线入手的常规，选用了学生非常熟悉的开口向上的抛物线入手，这样做的考虑是抛物线对于学生来说并不陌生，学生通过自己动手算出这个轨迹确实是抛物线以及从轨迹的生成过程发现轨迹上点所满足的几何条件，自然可以接受抛物线的本质定义，并知道这种定义方法与初中的定义方法并不矛盾.从而使学生的学习真正达到循序渐进、螺旋上升的目的.

4.知识梳理及时到位，反馈练习应更灵活

在给出抛物线的四种标准方程之后，及时总结了标准方程、开口方向、焦点坐标、准线方程的规律，便于学生记忆.但是由于本节课是抛物线的第一小节，学生并不能马上掌握这四种形式，所以做例题时很多学生是对照表格进行的，所以在总结规律之后，先给学生1分钟时间消化，再由学生提问，学生回答的灵活方式，使每个同学积极参与，充分思考，更好地掌握抛物线的四种形式.