ARMA模型在国内生产总值预测中的应用

张威

摘要：国内生产总值是指在一定时期内（一个季度或一年），一个国家或地区的经济中所生产出的全部最终产品和劳务的价值，常被公认为衡量国家经济状况的最佳指标。本文收集我国1978年至 2012 年来国内生产总值的数据，利用EVIEWS软件对数据进行时间序列分析，建立时间序列模型，并且最终通过确立的模型对我国未来GDP作出预测。

关键词：GDP；ARMA模型；实证研究

一、引言

（一）关于GDP预测的概述

GDP是本国全体常住生产者所创造的社会最终产品的价值总量。在通常情况下，GDP是反映一国经济增长、经济规模、人均经济发展水平、经济结构和价格总水平变化的一个基础性指标，因而是国际上普遍适用的考察国民经济发展变化的重要工具，GDP增长率是描述经济增长情况的最重要的宏观经济指标。世界上几乎没有哪一个国家不关心经济增长，因为没有经济的适当增长，就没有国家的经济繁荣和人民生活水平的提高。目前，各国政府的统计部门都把GDP增长率作为描述经济增长情况最重要的综合性宏观经济指标，因此研究预测GDP具有非常现实的意义。①

（二）ARMA模型的介绍

ARMA模型是由美国统计学家GE.P.Box和英国统计学家G.M.Jenkin在20世纪20年代提出的时序分析模型，也称为自回归滑动平均模型，是研究时间序列的重要方法，由自回归模型（AR）和滑动平均模型（MA）为基础“混合”构成。ARMA模型的基本原理是，将预测指标随时间推移而形成的数据序列看成是一个随机序列，这组随机变量所具有的依存关系体现着数据在时间上的延续性。以下即是ARMA模型的基本数学公式：

y1=c+α1yt-1+α2yt-2+…+αpyt-p+εt+θ1εt-1+θ2εt-2+…+θqεt-q

其中，εt为白噪音过程，且服从均值为0，方差为δ2的正态分布，c是常数项，α1，α2…αp是自回归系数，θ1，θ2…θq是移动平均系数。若q=0，则该方程就演变为一个纯AR过程，而如果p=0，则该方程则演变为一个纯MA过程。②

二、实证分析

（一）数据的整合处理

我们从国家统计局网站《中国统计年鉴》中选取了1978年到2012年的每年的GDP指数数据，也就是将所有数据都换算成了以1978年100为基期的数据。同时为了消除异方差性，我们对数据进行了对数转换，用lnGDP表示取自然对数以后的实际GDP。

（二）建立模型

1、數据的平稳性检验

首先画出GDP的趋势图，从趋势图我们可以看出，1978年到2012年我国GDP有明显的上升趋势，而且后期呈现出了对数变化，因此该序列是非平稳的。从图1-2中可以看出，图形呈现了明显的线性趋势。综合以上可以看出序列是非平稳的，需要对其进行进一步的检验。

单位根检验是检验非平稳时间序列模型的正式检验方法，单位根检验以DF检验和ADF检验最为常见。ADF检验，全称为Augemented Dickey-Fuller检验，是DF检验的拓展。因为在DF检验中，所有情况对应的模型都是AR（1）的形式，而没有考虑高阶AR的模型。ADF检验将DF检验从AR（1）拓展到一般的AR（p）的形式。本文中我们采用了ADF检验，结果ADF统计量的值为大于5%置信水平的t统计量，所以接受lnGDP具有单位根的假设，确定该序列为非平稳序列，需要继续对其消除平稳性。

2、非平稳性的消除

对lnGDP做差分可以消除其线性化趋势，消除整个序列的非平稳性。我们对经过一阶差分后的数据进行ADF检验，我们可以发现，ADF统计量的值小于5%置信水平的临界值，所以不接受lnGDP具有单位根的假设，该序列是平稳性序列，因此我们通过一阶差分转换消除了原始序列的非平稳性。

3、模型的选择

我们可以通过观察AC和PAC图来对ARMA模型进行识别选择，对GDP指数求对数再进行二阶差分后，得到的自相关和偏相关图可以看出滞后1期和滞后2期的AC与PAC值比较大，由偏自相关函数中的P可以选择1，由自相关函数中Q可以选择2，最终得到模型ARMA（1，2）。

4.模型的建立

首先我们先根据ARMA（1，2）生成一个新的一阶差分序列，对新生成的一阶差分序列进行检验，结果我们可以发现MA（1）的t统计量明显小于2，没有通过t检验，把MA（1）项剔除，生成新的估计模型为：

DLNGDP=0095641+0.524590*AR（1）-0.921738*MA（2）

71.333153.467500-14.76191

我们再对新生成的估计模型进行检验，结果可知，各变量的t统计量均明显大于2.5，通过了t检验，因此该模型成立，通过了显著性检验，可以对我国的实际GDP预测建立ARMA（1，2）模型。

（三）利用模型进行预测

我们对GDP的产出进行预测，预测结果可以看出，利用ARMA模型预测的2013年的GDP指数为26312，2014年的GDP指数为29207。根据中国统计年鉴最新数据可知，2013年我国实际GDP指数为26086，则经过计算可以得到预测值和实际值之间的误差为0.87%，因此可以看出该模型对GDP的短期预测非常准确。

之后进一步运用Eviews得出预测曲线和实际曲线的拟合图，如图4所示：

图4GDP实际指数和预测值的拟合曲线

观察上图我们可以发现，红线代表的是实际的曲线，绿色曲线代表的是预测图，预测值和实际值之间的拟合程度很好，说明该模型能够较好的对我国GDP进行预测。但是仔细观察也可以发现近些年来预测值和实际值之间仍然存在一定的差距。

三、总结

本文利用ARMA模型，以我国1978-2012年的GDP指数为数据，验证了模型的可行性。通过预测2013年的GDP指数与实际指数的误差来看，这种方法具有很好的预测性。ARMA模型对于具有明显趋势的时间序列分析提供了很好的数学模型，不需要涉及变量的专业知识，仅仅依靠数据的本身就可以完成建模，这样就从根本上避免了寻找主观因素以及识别主要因素和次要因素的困难。ARMA模型这种短期很强的预测性，也可以为政府制定经济政策提供一定的参考。（作者单位：四川大学经济学院）

参考文献：

[1]杨振刚，郑更新.GDP 预测模型中的多重共线性问题[J].中央民族大学学报（自然科学版），2005.11

[2]沃尔特.恩德斯著，杜江，谢志超译.应用计量经济学[M].高等教育出版社，2004.

[3]王若羽. 基于ARMA模型的我国国内生产总值的预测研究[J].商业现代化，2011.6

[4]仲亚伟，曾凡伟.山东省人均GDP时间序列模型的建立[J].价值工程，2005.4

[5]闫荣国.我国经济增长因素的协整分析述评[J].统计与决策，2003.12

注解：

①GDP：作用与局限，求是，新华网，2010年5月11日。

②关于ARMA模型的介绍具体可参照沃尔特.恩德斯著，杜江，谢志超翻译的《应用计量经济学-时间序列分析》第2章内容。