关于圆锥曲线焦点弦的几个定值

戴玲玲

【摘要】圆锥曲线的焦点弦是指经过圆锥曲线焦点的弦，笔者在教学中归纳出与其有关的几个定值，有助于进一步加深对圆锥曲线性质的认识.

【关键词】圆锥;曲线

1.（1）若AB为椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一条焦点弦，F为焦点，则1|AF|+1|BF|=2ab2（定值）;

（2）若AB为双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的一条焦点弦，F为焦点，则 1|AF|+1|BF|=2ab2（定值）;

（3）若AB为 抛 物 线y2=2px（p>0）的一条 焦 点 弦，F为焦点，则1|AF|+1|BF|=2p （定值）.

图 1证明：（1）如图1，不妨设F为右焦点，|AF|=m，|BF|=n，m

|BR|=|BB1|-|AA 1|=ne-me.

△ABR中，|FH||BR|=|AF||AB| ，

∴a2c-c-mene-me=mm+n.

将e=ca代入化简得1m+1n=2ab2.

m>n时，同理可证.

m=n时，将x=c代入椭圆得：m=n=|y|=b2a，

∴1m+1n=ab2+ab2=2ab2.

总之，1m+1n=2ab2，即1|AF|+1|BF|=2ab2（定值）.

（2）方法同上，证明略.

（3）方法同上，证明略.

2.（1）若AB，CD为椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）中过同一焦点F且互相垂直的两条弦，则1|AB|+1|CD|=a2+b22ab2（定值）;

（2）若AB，CD为双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）中过同一焦点F且互相垂直的两条弦，则1|AB|+1|CD|=a2-b22ab2 （定值）;

（3）若AB，CD为过抛物线y2=2px（p>0）焦点F且互相垂直的两条弦，则 1|AB|+1|CD|=12p（定值）.

图 2证明：（1）如图2，不妨设F为右焦点，A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB方程为y=k（x-c），则直线CD方程为y=-1k（x-c），将直线AB方程代入椭圆化简得：（b2+a2k2）x2-2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0，∴x1+x2=2a2k2ca2k2+b2，x1x2=a2k2c2-a2b2a2k2+b2.①

由椭圆焦半径公式知|AF|=a-ex1，|BF|=a-ex2，

∴|AB|=|AF|+|BF|=（a-ex1）+（a-ex2）=2a-e（x1+x2）

=2a-ca2a2k2ca2k2+b2=2a1-k2c2a2k2+b2

=2aa2k2+b2-k2（a2-b2）a2k2+b2=2a（k2+1）b2a2k2+b2.

∴1|AB|=12a a2k2+b2（k2+1）b2.

令k=-1k，则1|CD|=12a a2+k2b2（k2+1）b2.

∴1|AB|+1|CD|=12aa2k2+b2（k2+1）b2+a2+k2b2（k2+1）b2=a2+b22ab2.

当直线AB的斜率k不存在时，将x=c代入椭圆得：|y|=b2a，|AB|=2|y|=2b2a，|CD|=2a，

则1|AB|+1|CD|=a2b2+12a=a2+b22ab2.

当直线AB的斜率k=0时，同理可证.

总之，1|AB|+1|CD|=a2+b22ab2

（2）方法同上，证明略.

（3）方法同上，证明略.