一道习题的探究与拓展

张燕华

1.问题提出

直线l过点P（2，1），且分别交x轴、y轴的正半轴于点A，B，O为坐标原点.当|PA|·|PB|取最小值时，求直线l的方程.

方法1 由题意可知，直线斜率存在且k<0，设l：y-1=k（x-2）（k<0），则A（2-1k，0），B（0，1-2k），∴|PA|·|PB|=1k2+1·4+4k2=2k2+1k2+2≥22+2=4，当且仅当k2=1k2即k=-1时等号成立.所以直线l：x+y-3=0.此时OA=OB.

方法2 设直线的参数方程为x=2+tcosα

y=1+tsinα（t为参数，α为倾斜角，α∈（π2，π）），代入坐标轴方程xy=0，（1+tsinα）·（2+tcosα）=0，

化简得：t2sinα·cosα+（2sinα+cosα）t+2=0.

设直线l上的点A，B所对应的参数值分别为t1，t2，

则|PA|·|PB|=|t1|·t2=2sinα·cosα=4sin2α≥4，此时α=3π4，即OA=OB.

2.问题归结

分析 当|PA|·|PB|取最小值时有OA=OB，这是一种偶然巧合还是一种必然的结果呢？答案是肯定的.因此有：

定理1 直线l过点P（x0，y0）（x0>0，y0>0），且分别交x轴、y轴的正半轴于点A，B，O为坐标原点.当|PA|·|PB|取最小值时，有OA=OB.

定理1的证明与上述“问题提出”的证明相同，感兴趣的读者可试证一下.

3.问题推广

定理2 已知∠M为定角，A，B分别在∠M的两边上，AB经过定点P（P在∠AMB内），当|PA|·|PB|取最小值时，MA=MB.

证明 如图，建立直角坐标系，设∠M=β，则直线MB：y=x·tanβ.

设直线AB的参数方程为x=x0+tcosα

y=y0+tsinα（t为参数，α为倾斜角）.

设点A，B所对应的参数值分别为t1，t2，分别代入y=x·tanβ与y=0，得：t1=y0-x0·tanβtanβ·cosα-sinα，t2=-y0sinα.

则|PA|·|PB|=|t1|·|t2|=y0-x0·tanβtanβ·cosα-sinα·y0sinα.

令u=（tanβ·cosα-sinα）·sinα=12（tanβsin2α+cos2α）-12

=12cosβ（sinβsin2α+cosβcos2α）-12=12cosβ·cos（β-2α）-12.

又因为0<β<α<π，

所以-2π<β-2α<0.

所以β-2α=-π，即α=π+β2.

此时∠MAB=∠MBA=π2-β2，即MA=MB.

4.问题变形

定理3 已知AB=a（a为定值），端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，则当OA=OB时，△OAB面积最大.

证明 设OA=x，OB=y，则x2+y2=a2.

又S=12x·y≤12·x2+y22=a24，当且仅当OA=OB时取得最大值.

定理4 已知∠M为定角，A，B分别在∠M的两边上，AB=a（a为定值），当MA=MB时，△MAB面积最大.

证明 设∠M=α，MA=x，MB=y，则a2=x2+y2-2xycosα≥2xy-2xycosα，

∴xy≤a22（1-cosα），

S=12x·y≤12·a22（1-cosα）=a24（1-cosα），

当且仅当MA=MB时取得最大值.