高中数学函数教学的几点关注

杨欢涛

【摘要】函数是高中学生在数学学习过程中第一次遇到的具有一般意义的抽象概念，理解、掌握函数的概念，对高中数学其他相关知识的学习至关重要，函数是高中数学教学的重点.这部分教学应加强与其他内容的联系，突出数学本质，抓住重点.

【关键词】高中数学;函数教学;问题;关注点

近年各地高考中都加大了函数的考查力度.函数作为高中数学重要的概念和知识点，渗透在高中数学各大版块的教学中，函数已经成为高中数学的纽带.掌握函数的基本思想，对学好高中数学起着至关重要的作用，无论是从数学的应用还是从数学本身的发展上，函数的重要性怎样说都不过分.下面详细讨论下函数教学的几个关注点.

一、强化函数与相关数学知识的联系，让学生从思想上提升对函数思想方法的认识

函数作为高中数学的一条主线，贯穿于整个高中数学课程中.在方程、不等式、线性规划、算法和随机变量等内容中都突出地体现了函数思想.下面具体谈谈不等式中函数思想的运用.

在坐标系中，函数y=f（x）的图像把横坐标轴分成若干区域.一部分是函数值等于0的区域，也就是{xy= f（x） =0};另一部分是函数值大于0的区域，即{xy=f（x）> 0};再一部分是函数值小于0的区域，即{xy=f（x）<0}.把不等式的思想转化为函数的思想.所以用函数的观点看，解不等式就是确定使函数y=f（x）的图像在x轴上方或下方的x的区域.这样，就可以先确定函数图像与x轴的交点[方程f（x）=0的解]，再根据函数的图像来求解不等式.所以，解不等式的问题也可归结为研究函数局部性质的问题.特别须注意的是，不等式的证明是高中数学的一个难点，一些不等式的证明往往感觉无从下手，但若运用函数的思想观点则会迎刃而解，同时这也有利于学生创造性思维的培养.下面举实例说明：

例1 设a，b，c∈R，证明：a2+ac+c2+3b（a+b+c）≥0.

分析 此题的常规思路是配方法，但由于此题取等号的条件不易发现，要把左边配成完全平方和的形式实属不易.但若换一种思路，利用函数思想把左边看成关于其中一个变量的函数，则问题转化为该二次函数的值域非负，因而只需证其判别式值非正，从而有如下证法.

证明 令f（a）= a2+（3b+c）a+3b2+3bc+c2，把它看作关于a的二次函数，对应一个二次方程，因为Δ=（3b+c）2-4（3b2+3bc+c2）=-3（b+c）2≤0，所以f（x）≥0恒成立，即a2+ac+c2+3b（a+b+c）≥0这样就使这个不等式问题简化.

又如：

例2 函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x∈R，f′（x）>2，则f（x）>2x+4的解集为.（2011辽宁高考）

解 设g（x）=f（x）-2x-4，则g（-1）=f（-1）-2×（-1）-4=0，又因为g′（x）=f′（x）-2>0，所以g（x）在R上是增函数，所以原不等式可化为g（x）>g（-1），所以x>-1.

本题体现了用构造函数法解不等式，说明函数在解不等式问题中能起到很大的作用.

总之，在高中数学课程中，方程、不等式、线性规划、算法、导数、随机变量以及大部分专题的内容，都与函数有着密切的联系.因此，在教学中，教师应特别注意揭示函数与这些内容的内在联系，引导学生在整个高中数学课程的学习中不断体会、理解函数思想带来的“好处”.

二、抓住本质，突出重点，淡化纯技巧解题

高中数学新课程已经改革多年，笔者所在的江苏省高考每年还是有一个函数压轴题和若干函数知识小题，这就要求我们一线数学老师在函数课堂教学中必须要抓住重点.

在高中数学新课程教学中，应该把主要精力放在理解函数的图像、性质和变化规律上，淡化求函数定义域与值域的训练.例如，对于单调性的证明仅限于一些简单函数，如y= ax+b，y=ax2+bc+c（a≠0）， y=x，y= x2，y=x3，y = x-1，y=x.另外，根据函数在一个区间内的导数的符号可以判断函数的单调性，反之，也可以用单调性判断导数的符号.这些结论的证明要用到拉格朗日中值定理，在高中是不要求的.除了单调性，周期性也是中学阶段学习的函数的一个基本性质，用周期的观点来研究周期函数，可以使我们通过集中研究函数在一个周期内的变化来把握函数在整个定义域内的变化情况.在高中数学课程中不讨论一般函数的周期性，只讨论具体三角函数，如正弦、余弦和正切函数的周期性.奇偶性也是中学阶段学习的函数的性质，但它不是最基本的性质，奇偶性反映了函数图形的对称性质，奇偶性反映图形的对称与坐标系的选择有关，在高中数学课程中，对于一般函数的奇偶性，不做深入讨论，只讨论基本的具体函数，如：

y=ax+b，y=ax2+bc+c（a≠0），y=x，y=x2，y=x3，y=x-1，y=x，y=sinx，y=Asin（ωx+φ）的奇偶性，这也就要求我们在平时的教学中对这方面的内容应把握合适的度.

三、重视在课堂教学中根据不同层次学生选用不同的教学方法

我们在函数实际教学中，需要根据不同学生水平选择不同的教学方法.举一个函数求值域问题的例子.

所以，我们在平时的函数教学中需要多思考，寻求更适合本班情况的教学方法，才能事半功倍.