例谈“裂项目消模型”的构造

陈新伟

利用裂项相消法求数列{an}的前n项和的一般过程是：将数列的通项分成两个式子的代数差，即an=f（n+l）-f（n），然后累加抵消掉中间的项。利用裂项相消法的目的有两个：一是把数列的通项裂项后，能够使用基本的数列求和公式进行求和；二是裂项后，在数列的连续项中能产生正负相消的项。裂项相消法是解决数列求和问题的重要方法，也是高考试题命制的热点内容。就2014年全国高考而言，广西理科数学第18题，广东文科数学第19题，山东文、理科数学第19题等，均对裂项相消法进行了考查。通过对近年来高考试题的对比研究，发现“裂项相消模型”不断推陈出新，涌现出许多新颖试题，但这些试题的背后，也隐匿着基本的“裂项相消模型”及处理“裂项相消模型”的基本思维策略，值得总结、拓展、挖掘。

一、利用简单运算巧裂项

例2（2014年高考山东理科数学第19题）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列。

侧 3 （原创试题）在等差数列{an}中，已知公差d=2，a2是a1与a4的等比中项。

（1）求数列{an}的通项公式。

例 4 （2014年高考新课标版2理科数学第17题）已知数列{an}满足al=1，an+1=3an+1。

二、利用等差数列巧裂项

结论5：数列{an}是首项为al、公差为d的等差

例 5 （原创试题）已知{an}为等差数列，数列

结论6：若数列{an}为等差数列，公差为d，bn=

例 6 求数列{n（n+1））的前n项和sn。

解析：当n=l时，Sn=2。

由结论6得：当n≥2时，n（n+1）=用裂项相消的办法求数列{n?}的前n项和，比采用立方差公式求该数列的前门项和简便。类似地，也可求数列{n（n+l）（n+2）}的前，n项和，即将通项裂

结论7：若数列{an}为等差数列，公差为d，b，bn=

三、运用公式变形巧裂项

利用运算性质构造“裂项相消模型”对我们来说并不陌生，如根据对数的运算性质：

例 7 （原创试题）各项都是正数的等比数列

证明：设等比数列{an}的公比为q（q>0），则当

2.{sin nx}型数列

3.{2ntan 2na}型数列

4.阶乘型数列

5.组合数型数列

例 8 （原创试题）已知

综上所述，2≤f（n）<3，n∈N*。

“裂项相消模型”还有很多，因篇幅有限，此处不再赘述。需要注意的是：正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项；若数列{an}中每一项an均裂成一正一负两项，互为相反数的项合并为0后，所剩正数项与负数项必是一样多，切不可漏写未被消去的项；未被消去的项有前后对称的特点，即经过裂项后有“对称剩项”的特征。从实质上看，正负项相消是裂项相消法的根源和目的。