一元一次方程应用题的几种特殊类型

朱亚邦

一元一次方程应用题的类型有很多。下面请大家看几种比较特殊的类型。

一、特殊设元型

1.求整体，设部分。

例1 有一个八位的电话号码，前四位数字完全相同，从第四位到第八位是依次减小的连续自然数，全部数字之和恰好等于号码的最后两位数字组成的两位数（两位数字的前后顺序不变），请写出这个电话号码。

分析：前四位数字完全相同，且它们与后四位数字有联系，因此可将前四位数字设出来，这样便于列方程求解。

解：设前四位数字均为x，则后四位数字依次为x-l，x-2，x-3。x-4。

由题意得

4x+x-1+x-2+x-3+x-4=10（x-3）+x-4。

解得x=8。

故x-1=7，x-2=6，x-3=5，x-4=4。

所以这个电话号码是88887654。

2.求部分，设整体。

例2 有四名同学，他们每人手中都有一些钱，其中每三名同学手中的钱加起来分别为22元、19元、27元、25元，这四名同学手中的钱分别有多少元？

分析：按常规解法，需设四个未知数，列出多个方程，但目前大家还不会求解。由于目前大家只学了一元一次方程，所以考虑把整体设为未知数。

解：设这四名同学手中的钱共有x元。则每人手中的钱分别有（x-22）元、（x-19）元、（x-27）元、（x-25）元。

由题意得

（x-22）+（x-19）+（x-27）+（x-25）=x。

解得x=31。

故x-22=9，x-19=12，x-27=4。x-25=6。

所以这四名同学手中的钱分别有9元、12元、4元、6元。

3.未知数多，增设辅助未知数。

例3 某人乘坐小船沿河逆流而上，途中不慎将手机保护壳丢失，手机保护壳在河中顺流而下。15min后，此人发现这一情况，并立即掉转方向去寻找手机保护壳。假设小船在静水中的行驶速度不变，水流速度也不变，则此人掉转方向后需要多长时间可追上手机保护壳？

分析：题中未知数较多，已知数只有一个，问题不易解决。此时可考虑增设辅助未知数，并通过运算将辅助未知数消去，从而解决问题。

解：设此人掉转方向后需要xmin可追上手机保护壳，小船在静水中的行驶速度为am/min，水流速度为bm/min，则小船逆流行驶15min的行程为15（a-b）m，顺流行驶xmin的行程为（a+b）xm，手机保护壳的行程为b（15+x）m。

由题意得（a+b）x=15（a-b）+b（15+x）。

化简，得ax=150a

因为a≠0，所以x=15。

所以此人掉转方向后需要15min可追上手机保护壳。

二、巧买型

例4 王老师带领甲、乙两位同学到文具店买笔记本，文具店给出了以下优惠措施：笔记本售价为2.3元/本，如果买100本以上（不含100本），售价调整为2.2元/本。王老师手中有222.2元钱，准备买100本笔记本。甲同学算了一下说买不到，而乙同学算了一下说能买到。这到底是怎么回事？请通过计算说明。

分析：两位同学肯定是根据不同的售价进行计算的。当1≤n≤100时，买n本笔记本需2.3n元；当n>100时，买n本笔记本需2.2n元。

解：甲同学的算法是：按售价为2.3元/本计算，设222.2元能买x本，由题意得2.3x=222.2，解得x≈96.6，不够100本。

乙同学的算法是：按100本以上（不含100本）售价为2.2元/本计算，设222.2元能买y本，由题意得2.2y=222.2，解得y=101，这样能买101本。

三、简解型

例5 国庆期间，刘同学决定从家门口搭乘公共汽车赶往火车站，再乘火车回老家看望爷爷。在搭乘公共汽车行驶了三分之一的路程后，他估算了一下，继续乘公共汽车将会在火车开出后半小时到达火车站，于是随即下车改乘出租车，车速提高1倍，结果赶在火车开出前15min到达火车站。假设公共汽车的速度始终为40km/h，求刘同学家到火车站的距离。

分析：只要明白节省的时间是因为在剩下的三分之二的路程中由公共汽车换了出租车，就能快速求解问题。

解：设刘同学乘公共汽车行驶xkm，则刘同学家到火车站的距离为3xkm，刘同学乘出租车行驶2xkm。

由题意得2x/40-2x/80=45。

解得x=30。

故3x=90。

所以刘同学家到火车站的距离为90km。

四、节省型

例6 某超市国庆期间举行促销活动。给出了以下优惠措施：一次性购物少于200元的，不给予优惠：一次性购物不少于200元但不超过500元的，给予九折优惠；一次性购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的部分给予八折优惠。某人两次购物分别花了134元、466元。

（1）此人两次购物节省了多少钱？

（2）若此人将两次购买的商品合起来一次性购买，是否更省钱？请通过计算说明。

分析：解决问题的关键在于确定一次性购物的原价所在的范围（少于200元、不少于200元但不超过500元、超过500元）。

解：（1）因为200×90%=180>134，所以此人第一次花费134元购买的商品没有优惠。

因为500×90%=450<466，所以此人第二次花费466元购买的商品的原价超过500元。

设他第二次购买了原价为x元的商品，由题意得500×90%+（x-500）×80%=466。解得x=520。

所以此人两次购买的商品的原价分别为134元、520元，节省了520-466=54（元）。

（2）若将两次购买的商品合起来一次性购买，则商品的原价为134+520=654（元），他实际需要付500×90%+（654-500）×80%=573.2（元），能节省654-573。2=80.8（元）。

所以此人将两次购买的商品合起来一次性购买更省钱。

责任编辑：潘彦坤