马尔科夫链在教学质量评价中的应用

郝长江

【摘要】马尔科夫链是一类特殊的时间离散的随机过程，其最大的特点就是无后效性，本文建立

了以齐次马尔科夫链为模型的教学质量评价方法，阐明了这种方法的理论依据及其计算程序，为

客观的评价教师的教学效果提供了可行的操作方法.

【关键词】教学质量评价 马尔科夫链 ；转移概率矩阵

1.引言

在普通中學教育中，教学效率的比较是教育评估研究的一个重要课题，仅仅根据学生的考试成绩来评价教师教学效果的优劣是片面的，不准确的.因为不同的教师所面对的是不同班级的学生，这些学生之间必然存在着知识基础等各方面的差异，这些差异肯定影响着学生最后考试成绩.所以要客观评价教师的教学效果，必须剔除学生差异这一因素.本文建立了以齐次马尔科夫链为模型的评价方法.

2.基本知识

马尔科夫链分析法是一种以概率论和随机过程理论为基础 ，应用基础数学模型来分析对象发展变化过程中数量关系的一种统计方法.

设 XT = {Xt，t ∈ T = （0，1，2，3，···）}为一随机过程，其状态空间 I = {0，1，2，3， ···}，若对任意的正整数k，任意 ti ∈ Ti， ti < ti+1 ， i = 0，1，2，3，···，

k为任意非负整 ，i0 ，i1 ，···，ik+1 有

P{Xtk+1=ik+1|Xt0=i0，Xt1=i1，Xt2=i2，Xtk=ik}=P{Xtk+1=ik+1|Xtk =ik}

则称Xt为离散时间的马尔科夫链，称条件概率

Pij（k）（n）=P{Xtk+1=ik+1|Xtk =ik}， i，j∈I

为{Xt，t∈I}n时刻的k步转移概率，简记为Pij（n；k），如果有Pij（n；k）=Pij（k），则称此马尔科夫链为齐次的，特别地当k=1时，有P ij（n；1）=P ij ，称为一步转移概率，由一步转移概率Pij组成的矩阵

p11 p12 ... p1n

p21 p22 ... p2n

P ={Pij， i，j∈I}= ... ... ...

pm1 pm2...P mn

称为一步转移概率矩阵.

3.模型的建立

将一个教学班学生的某次考试成绩分为五个等级 ，其中 120分以上为优秀， 110 ?119分为良好，100?109分为中等，90?99分为及格，90分以下为不及格，把各等级学生人数与总人数之比作为状态变量，记为

R（t）={X1（t），X2（t），X3（t），X4（t），X5（t）}∑5i=1

显然有Xi（t）=1，其中t（t∈I）表示时间，然后根据马尔科夫过程的无后效性，研究当t变化时，状态向量的变化规律，从而对教学效率作出评价.设在第一次考试中某班级的 n名学生中，获得优，良，中，及格，不及格的学生人数分

∑5i=1别为n1，n2，n3，n4，n5，且ni=n，则状态向量为

R（1）={ }

假设在第一次考试获得优等成绩的 n1名学生中，在第二次考试中获得优，良，中，及格和不及格的人数分别是 n1j（j =1，2，3，4，5）.于是得到第一次考试成绩为优等学生的考试成绩的转移概率矩阵为

同理可得第一次其余各等级的考试成绩的转移概率为

于是得到第一次考试成绩转到第二次考试成绩的转移概率矩阵此系统是一个马尔科夫链，由遍历性可知

Lim Pij （n）=xj

n→∞

其中 xj与 i无关，且 xj ≥ 0， X（x1，x2，x3，x4，x5） = 0为状态 R（t）的平稳分布，且满足X=XP，即

X（E?P）=0

E为单位矩阵，于是，求转移矩阵P的极限向量X转化为求P的特征值为1的特征向

量，即由方程（E?P′）X′=0

解出 X =（x1，x2，x3，x4，x5），即为 P的极限向量.若确定优为 120分，良为 110分，中为100分，及格为90分，不及格为80分，则可以通过比较

S=120x1+110x2+100x3+90x4+80x5

的大小来判断两个班级教学质量的差别.

4.算法步骤与实例

4.1.算法步骤

（1）列出学生成绩转移情况表；

（2）确定转移矩阵P；

（3）求出P的极限向量X，即求P的特征值为1的特征向量，其步骤为：

首先求P的转置矩阵P′；

其次列出特征方程

（E?P′）X′=0

∑5i=1由于特征方程式是线性相关的，故可删去一个方程并用约束条件

xi=1代表；

最后解出P的极限向量X=（x1，x2，x3，x4，x5）根据最大项原则，可用其中最大的等

级值表示教学工作量.