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二重极限与累次极限及其应用

2015-05-30左双勇

求知导刊 2015年11期
关键词:极限

左双勇

摘 要:极限是研究函数的重要工具之一,二重极限是定义二元以上函数极限的基础,这里主要介绍了二重极限和累次极限的概念。举例说明了二重极限与累次极限在存在性上相互独立的关系,最后给出了二重极限与累次极限的某些应用。

关键词:极限;二重极限;累次极限

1.二重极限与累次极限的概念

二元函数的极限有两种概念,它们分别是二重极限与累次极限,其定义分别如下:

定义1:设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)某邻域(P0可除外)有定义,若存在常数A,对∨ε>0,总  δ>0,只要点P(x,y)与P0(x0,y0)的距离ρ=√(x-x0)2-(y-y0)2< δ,恒有|f(x,y)-A|<ε成立,则称A为函数z=f(x,y)当P(x,y)→P0(x0,y0)时的极限,记作

limf(x,y)=A或 limf(P)=A

上面定义的二元函数的极限也称为二重极限。[1]

定义2:设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)某邻域(P0可除外)有定义,若limf(x,y)=φ(y)存在,且limφ(y)=A存在,则称A为函数z=f(x,y)的先x→x0后y→y0次序的累次极限,记作:lim limf(x,y)=A。

同样的方法可以定义相反次序的累次极限lim limf(x,y)=A。[2]

2.二重极限与累次极限的关系举例

二重极限与累次极限是分别独立定义的两个概念,下面举例说明它们在存在性上是相互独立的,没有必然的联系。

(1)二重极限存在,两种不同次序的累次极限也存在,且相等。例如,

—,x2+y2≠0

f(x,y)=

0,         x2+y2=0

二重极限lim—=0存在。这是因为对∨ε>0,取δ=ε,只要ρ=√x2+y2<δ,恒有|—-0|≤—=|x|<√x2+y2<ε成立。

两种不同次序的累次极限lim lim—=0,lim lim—=0

存在且相等。

(2)二重极限存在,两种不同次序的累次极限都不存在。例如,

xsin—+ysin—,x≠0,y≠0

f(x,y)=

0,                  x=0,y=0

二重极限lim(xsin—+ysin—)=0存在。

而累次极限lim lim(xsin—+ ysin—)=

0和lim lim(xsin—+ ysin—)=0都不存在。

(3)二重极限存在,一种次序的累次极限存在,而另一种次序的累次极限不存在。例如,

xsin—,x∈R,y≠0

f(x,y)=

0,        x∈R,y=0

二重极限limxsin—=0存在。

累次极限lim limxsin—=0存在,而相反次序的累次极限lim limxsin—=0不存在。

(4)二重极限不存在,两种不同次序的累次极限都存在,且相等。

例如,f(x,y)=—

累次极限lim lim—=0和lim lim —=0存在且相等。

而二重极限lim—=0不存在。

(5)二重极限不存在,两种不同次序的累次极限都存在,但不相等。

例如,f(x,y)=—

累次极限lim lim—=-1和lim lim

—=1存在且不相等。

二重极限lim—=0不存在。

此外,还有二重极限不存在,一种次序的累次极限存在,而另一种次序的累次极限不存在,以及二重极限不存在,两种不同次序的累次极限都不存在两种类型关系,在此不一一例举。

由上面讨论知,二重极限与累次极限在存在性上没有必然的联系,但是,在一定的条件下,又可以建立下面的两个结论:

定理1:若函数z=f(x,y)的二重极限limf(x,y)存在,且累次极限lim limf(x,y)=A(或lim limf(x,y)=

A)存在,则有limf(x,y)=lim limf

(x,y)=A(或limf(x,y)=lim limf(x,y)=A)。

定理2:若函数z=f(x,y)的两种不同次序的累次极限lim limf(x,y)和lim limf(x,y)都存在,但不相等,则二重极限 limf(x,y)一定不存在。

3.二重极限与累次极限的应用

(1)一般计算比较复杂的二元函数的极限是比较困难的,而求累次极限实际上是进行两次一元函数的极限计算,是比较容易的,由定理1知,在二重极限存在的条件下,可用求累次极限来求其二重极限。

(2)用累次极限可判别二重极限不存在。由定理2知,若两种不同次序的累次极限都存在,但不相等时,则二重极限一定不存在。

例如,f(x,y)=—

累次极限lim limf(x,y)=lim(y-

1)=-1和lim limf(x,y)=lim(x+1)=1

都存在,但不相等,而二重极限limf(x,y)不存在。

(3)用累次极限可表示某些非初等函数。

例如,在高等数学中常见的狄利克雷函数

1,x为有理数

0,x为无理数

可以用累次极限y=D(x)=lim lim(cosmπx)2n       (m,n为整数)来表示。

参考文献:

[1]华东师范大学数学系编.数学分析(第二版)(下)[M].北京:高等教育出版社,1991.

[2]王旭琴.二重极限与累次极限的关系[J].南昌高专学报,2010(02): 157—158.

(作者单位:广州城建职业学院人文学院)

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