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微分中值定理中命题结论只含一个中值的三种证明题型

2015-05-30刘立汉

课程教育研究·学法教法研究 2015年12期
关键词:证明

刘立汉

摘 要:本文分析了微分中值定理命题结论只含一个中值的三种证明题型,总结了相对比较实用的思路及方法,从而为以后相关的证明提供了一个明确的方向或技巧.

关键词:微分中值定理;一个中值;证明.

【中图分类号】O172

微分中值定理是微分学的基本定理,包括罗尔(Rolle)定理(见[1],[2],[3],[4])、拉格朗日(Lagrange)中值定理(见[1],[2],[3],[4])和柯西(Cauchy)中值定理(见[1],[2],[3],[4]),它是沟通函数与其导函数之间的桥梁,在数学分析和高等数学等数学课程中有着广泛的应用.

一、所证命题形如

例1(见[5],[6]) 设函数 在闭区间[0, 3]上连续,在开区间(0, 3)内可导.又 , ,证明:至少存在一个 ,使得 .

证明 因为函数 在闭区间[0, 3]上连续,于是由最值定理可知:函数 在闭区间[0, 3]上存在最大值 与最小值 ,从而 ,根据题意 ,于是 ,又由介值定理可知:至少存在一点 ,使得 ;又根据题意 ,于是 ;再由罗尔定理可知:至少存在一个 ,使得 .

例2(见[5],[6]) 设函数 在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)内二阶可导,连接点 的直线与 相交于点 ,证明:至少存在一个 ,使得 .

证明 根据题意函数 在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)内二阶可导,于是由拉格朗日中值定理可知:至少存在一个 ,使得 ;又根据题意 、 、 三点位于同一直线上,于是 ;再根据题意函数 在开区间(a, b)内二阶可导,由罗尔定理可知:至少存在一个 ,使得 .

二、所证命题中函数导数差一阶

例3(见[5],[6]) 若函数 在闭区间[0, 1]上连续,在开区间(0, 1)内可导, ,证明:至少存在一个 ,使得 .

分析

证明 构造函数 ,根据题意 ,于是 ,由罗尔定理可知:至少存在一个 ,使得 ;又由 ,于是 ,即 .

例4(见[5],[6]) 若函数 在闭区间[0, 1]上连续,在开区间(0, 1)内二阶可导, ,证明:至少存在一个 ,使得 .

分析

证明 构造函数 ,于是 ;又根据题意 在闭区间[0, 1]上连续,在开区间(0, 1)内二阶可导, ,由罗尔定理可知:至少存在一点 ,使得 ,即 ,从而 ,再由罗尔定理可知:至少存在一个 ,使得 ,又由 ,于是 ,即 .

三、所证命题中函数导数差二阶及以上

例5(见[5],[6]) 若函数 在闭区间[0, 1]上连续,在开区间(0, 1)内二阶可导, , ,证明:至少存在一个 ,使得 .

证明 根据题意 在闭区间[0, 1]上连续, , ,由零点定理可知:至少存在一点 ,使得 ;先构造函数 ,于是 ,由罗尔定理可知:至少存在一个 ,使得 ,又由 ,于是 ;再构造函数 ,于是 ,再由罗尔定理可知:至少存在一个 ,使得 ,又由

,即 .

参考文献

[1] 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 数学分析(第三版, 上册), 北京:高等教育出版社, 2006.

[2] 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 数学分析(第三版, 下册), 北京:高等教育出版社, 2006.

[3] 同济大学数学系, 高等数学(第六版, 上册), 北京:高等教育出版社, 2007.

[4] 同济大学数学系, 高等数学(第六版, 下册), 北京:高等教育出版社, 2007.

[5] 汤家凤, 高等数学辅导讲义, 北京:中国原子能出版社, 2013.

[6] 钱吉林, 数学分析题解精粹, 武汉:崇文输局, 2009.

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