类比在数学学习中的应用

房震

在中学数学中，由两个数学系统中所含元素的属性在某些方面相同或相似，推出它们的其他属性也可能相同或相似的思维形式被称为类比推理，运用类比推理的模式解决数学问题的方法称为类比法。

类比在数学知识延伸拓展过程中常借助于比较、联想来启发诱导以寻求思维的变异和发散。在归纳知识系统时又可用来串联不同层次的类似内容，帮助理解和记忆。因此，归纳法和类比法既是数学学习的重要方法，也是数学发现的有效方法。

类比法是由此及彼以及由彼及此的联想方法，教师在教学中必须善于引导学生去联想、类比，才能充分调动学生的想象力，让他们通过比较去发现、去认识、去掌握知识。培养具有创造能力的人才，就要帮助他们学会归纳和类比。类比具有启迪思维、提供线索、举一反三的作用，对发展思维特别是创造性思维十分有利，类比在中学数学中随处可见。如通过类比，从等差数列通项公式把加法类比为乘法，把乘法类比为乘方，即得到等比数列通项公式，同样，等差数列中有关公式，如类比为。同时，类比法是系统掌握新知识、巩固旧知识，使新旧知识融会贯通的有效方法。在实际教学中，教师必须有意识地引导学生注意知识之间的比较，比如，实系数一元二次方程有求根公式，根与系数的关系，在复系数一元二次方程时，也应适用。这就是看到了两者在形式上的相似之处。由长方形对边互相平行，邻边互相垂直，对照长方体对面互相平行，相邻边互相垂直，引起类比联想：长方形对角线的平方等于长和宽的平方和，联想长方体的对角线也有类似关系，事实上，长方体对角线的平方等于其相邻三条棱的平方和。同时，类比法是系统掌握新知识、巩固旧知识，使新旧知识融会贯通的有效方法。数学的发展是一个不断地从原有知识向深度和广度推进的过程，所以，各个系统的知识与知识之间必然存在着相似之处，更何况，许多知识的发展就是类比发现的结果。从旧知识去发现新知识，这不仅仅能起到事半功倍的效果，还将会大大提高学生的学习兴趣，取得良好的学习效果。

在数学教学中，可以从以下两方面引导学生开展类比联想活动。一方面，在新课中做出类比联想的示范。另一方面，启发学生利用类比联想去制定解题方案，以建立新猜想、新概念。

类比法的前提和结论之间有着或然的联系。也就是说，当前提为真时，其结论可能为真，也可能为假。例如，在数学教学过程中，我们发现有的学生经常把sin（）形式地与a（b+c）相类比，错误地得出sin（）=sin+

sin。由定理“平面内两直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线平行”到命题“空间内两直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线平行”属“推广”行为，可惜不成功。但是，该定理到命题“空间内两直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行”不是推广，而是类比，并且成功了。以上各例表明：

类比的确可以帮助学生发现有意义的真命题，并且，学生一旦养成了类比的习惯，掌握了一定的方法要领，思路就会变宽，思维就会变活跃。因此，类比是每一个期望自己有所发现的学生必须具备的一种方法。

类比和推广是有区别的。

类比所需要的想象力，往往由背景所引发。类比所需要的完善性，也往往以背景为基础，绝不能瞎想硬套。然而，在同一背景下，各人的反应却可以大不相同。由此可见，思维的方式、思维的习惯、思维活跃程度等等，往往同学识广博程度一样重要。

类比总是类比，类比不等于雷同。关于某一类对象成套定理体系，类比到另一类对象时，有些命题的真假性被破坏是不足为奇的。

教师在教学中进行类比活动，必须注意以下三方面：

类比法的基础在于客观世界的相对稳定性，带来了各种事物的联系的多样的统一，但类比法除了同构类比和一部分实质类比联想之外，可靠性较小，中学生又容易自觉或不自觉地进行各种各样的类比，有的类比是应当及时否定的。

帮助学生抓住类比根源和类比目标。分清类比根源，主要是要确认对应“相似”元素和对应的“相似”关系。如三角形三个内角的平分线交于一点，这个点是内切圆圆心，类比到三棱锥的各个二面角平分面交于一点，这个点是三棱锥的内切球心。

要使学生认识到类比出来的结论还需要通过逻辑论证的检验，结论或者得到证明而被肯定，或者被推翻。

类比法在各种逻辑推理中，是最富有创造的一种方法。这是因为类比法不限于在同类事物中进行对比，也不必像演绎法那样，受一般原理的限制，亦不必像归纳法一样，需要考虑归纳材料的个数。使用类比，可以跨越各个种类进行不同种类事物的类比，可以比较本质的特征。它比之归纳，更富有想象，因而具有较强的探索和预测的作用。

（作者单位：江苏省丹徒中等专业学校）