数形结合思想在高中数学解题中的运用
2015-05-30卢江啸
卢江啸
摘 要:数形结合思想属于高中数学解题过程中一种常用的思想,其本身具有简便、直观、形象等优势,针对集合问题采用代数的方法来进行解答,抑或是针对代数问题采用集合图形来进行解答。通过掌握数形结合思想,能够有效整合高中的数学知识,更好地学习数学。
一、数形结合思想概念分析
1.数形结合思想的概述
“数”“形”都是数学组成的重要基础,数量关系当中一般都可以采用直观的图像来进行展示,而任何一个集合图形当中都包含着一定程度的数量关系,因此,将“数”“形”结合起来进行数学问题的解答是一种十分重要的数学解题思想。其主要包含两个方面的内容,一是以形助数,二是以数解形。
2.数与形之间的转化措施
从数形之间的有效转化模式来看,其主要囊括三种,分别为通过形转化为数、通过数转化为形、数与形的互相转化。针对通过形转化为数的模式来看,其通常是根据已知的图形,经过认真地分析以后,将图像当中隐藏的各种数量与相关性造出来,使得几何图形的相关属性能够通过数的方式反映出来。针对通过数转化为形的模式来看,其通常是根据问题当中所给出的各种假设,将与之对应的图形描绘出来,在图形当中体现对应的数量关系,最终揭示数与形之间的本质。针对数与形的互相转化模式来看,其主要是充分利用数与形的相互对立统一特点,来针对图形的形状进行观察,针对数与式子之间的结构实施研究,从中进行对应的联想,进行相应的转化,把原本空洞、抽象的内容转变成形象、直观的内容。
二、数形结合在高中数学解题中的实例分析
1.数形结合思想在集合解题中的运用
集合属于高中数学教学中的基本知识,是掌握其他数学知识的重要基础。而集合无论是在交集、补集以及并集等各个内在关系方面,抑或是其外在表达式方面,都包括了图形的重要意味,数形结合思想在集合解题当中具有十分重要的作用。
例:假设存在两个集合依次为M={(x,y)︳x2+y2=1,x∈R,y∈R}, N={(x,y)︳x2-y=0,x∈R,y∈R},
则集合M∩N当中的元素个数为几个?
答案:2个。
分析,一般来说,倘若选择单纯的数量关系解题方法,为以下解题思路:x2+y2=1,x2-y=0两个方程通过联立产生方程组,解答之后,获得x4+x2-1=0,虽然这种方法也能够获得x的值,并以此来计算y的值,但这种解题思路的步骤较为复杂,所消耗的时间相对较多。而通过应用数形结合思想,在反复审题之后能够获得x2+y2=1能够表示圆,x2-y=0则能够表示抛物线,就能够将问题转变成为x2+y2=1表示的圆与x2-y=0表示的抛物线之间存在几个交点。通过数形结合的模式,能够通过绘图直观得到答案,避免了过于复杂的计算过程。
2.数形结合思想在函数解题中的运用
函数同样是高中数学中需要掌握的重要知识,其基本上贯穿于整个数学学习的过程中,由于函数本身涉及的内容较为广泛,并且理论性与抽象性相对较高,学习难度也相对较高。然而函数本身不但具有对应的表达式,同时还具有匹配的图像,通过图形,通常可以有效解决许多依靠数学计算难以解决的问题。
例:方程sin2x=sinx在区间x∈(0,2π)内的解的个数为多少?
答案:3个。
分析,倘若选择单纯的数学解题方法为以下解题思路:sin2x=2sinxcosx= sinx,得出2cosx=1,再通过题目已知x∈(0,2π),得出答案为3个。虽然通过单纯的数学计算方法也能够得出答案,然而该方法需要一次进行计算,在解答的过程中可能会因为疏忽导致结果遗漏。而采用数形结合思想,先把两个三角函数的图像在相同坐标系当中分别绘出来。而通过认真观察两个三角函数的图像,能够得到答案为3个。
三、结语
数形结合思想属于高中数学解题过程中应用最为广泛,也是最为重要的方法之一,是把数学问题化难为易、化繁为简的重要方法。作为高中生,必须要充分掌握数形结合思想,在学习数学的过程中进行反复的练习与实践,才能为今后的数学学习打下坚实的基础。
参考文献:
[1]周宝瑞.浅析数学语言能力在高中数学解题中的重要性[D].开封:河南大学,2014.
[2]刘智娟.注重高中数学解题中的“四大法宝”[J].中学数学,2014(23): 67—68.
(作者单位:湖南省安化县第二中学)