浅议中考数学规律探索型问题的解决策略

王小强

利用数学知识解决规律探索型问题是初中《数学课程标准》的一个重要目标. 而中考规律探索题主要考查学生的观察、联想、实验、推理和总结应用能力，此类问题具有一定的数学思想，在题型、结构设计上有较大的创新，知识交叉应用层面也更具有思维性，对初中生而言既能有效考查学生综合运用数学知识探索、研究、归纳的能力，又能有利于学生的自主探索、创新意识的培养. 下面我就此类问题以近年中考题为例做一探讨.

一、计算规律

此类题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴含的数量关系，然后通过适当的计算回答问题.

例1 （2012山东滨州）求1 + 2 + 22 + 23 + … + 22012的值，可令S = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 22012，则2S = 2 + 22 + 23 + 24 + … + 22013，因此2S - S = 22013 - 1.仿照以上推理，计算出1 + 5 + 52 + 53 + … + 52012的值为 （ ）.

A. 52012 - 1 B. 52013 - 1 C. D.

解析 设S = 1 + 5 + 52 + 53 + … + 52012，则5S = 5 + 52 + 53 + 54 + … + 52013，因此，5S - S = 52013 - 1，S = .

答案 选C.

点评 本题考查同底数幂的乘法，以及类比、推理的能力，两式同时乘以底数，再相减可得S的值.

二、数列规律

此类题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容.

例2 （2012湖北恩施）观察下表：

根据表中数的排列规律，B + D = .

解析 B所在行的规律是每个数字等于前两个数字的和，所以A = 3，B = 8；D所在行的规律是关于数字20左右对称，即D = 15，所以B + D = 23.

答案 23.

点评 本题考查了学生观察和归纳能力，此类问题随着观察角度的不同可有不同的规律寻求途径，但最终结果应“殊途同归”.

三、图形规律

此类题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合.

例3 （2013资阳）从所给出的四个选项中，选出适当的一个填入问号所在位置，使之呈现相同的特征 （ ）.

A. B. C. D.

解析 根据图形的对称性找到规律解答.

答案 第一个图形是轴对称图形，第二个图形既是轴对称图形又是中心对称图形，第三个图形既是轴对称图形也是中心对称图形，第四个图形是中心对称但不是轴对称，所以第五个图形应该是轴对称但不是中心对称，故选C.

点评 本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细地观察图形并发现其中的规律.

四、动态规律

此类题是探求图形在运动变换过程中的变化规律，解答此类问题时，要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较，明确哪些结果发生了变化，哪些结果没有发生变化，从而逐步发现规律.

例4 （2014德州）如图，抛物线y = x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3，…，An，….将抛物线y = x2沿直线L：y = x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线顶点M1，M2，M3，…，Mn，…都在直线L：y = x上；② 抛物线依次经过点A1，A2，A3，…，An，….则顶点M2014的坐标为（4027，4027 ）.

解析 根据抛物线y = x2与抛物线yn = （x - an）2 + an相交于An，可发现规律，根据规律，可得答案.

解 M1（a1，a1）是抛物线y1 = （x - a1）2 + a1的顶点，抛物线y = x2与抛物线y1 = （x - a1）2 + a1相交于A1，得x2 = （x - a1）2 + a1，即2a1x = a12 + a1，x = （a1 + 1）.

∵ x为整数点，∴ a1 = 1.

M1（1，1），M2（a2，a2）是抛物线y2=（x - a2）2 + a2 = x2 - 2a2x + a22 + a2顶点，抛物线y = x2与y2相交于A2，x2 = x2 - 2a2x + a22 + a2，∴ 2a2x = a22 + a2，x = （a2 + 1）.

∵ x为整数点，∴ a2 = 3，M2（3，3），M3（a3，a3）是抛物线y2 = （x - a3）2 + a3 = x2 - 2a3x + a32 + a3顶点，抛物线y = x2与y3相交于A3，x2 = x2 - 2a3x + a32 + a3，∴ 2a3x = a32 + a3，x = （a3 + 1）.

∵ x为整数点，

∴ a3 = 5，M3（5，5），所以M2014，2014 × 2 - 1 = 4027.

答案 （4027，4027）.

点评 根据抛物线y = x2与抛物线yn = （x - an）2 + an相交于An，可发现规律，根据规律，可得答案.

规律探索型问题一直以来是中考热点，涉及面较广，以上只是我对此类问题的一点拙见，仅供大家探讨.