平行线

董学战

【摘要】 平行线在转化“比值”的过程中，具有强大的功能，某些图形添加“平行线”后，会给命题注入无限生机，让孤立的条件和结论活力四射，利用“桥梁”顺利牵手.

【关键词】 辅助线；平行线；比值；桥梁

沪科版九年级《数学》（上册）第70页有个很重要的推论：“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.”同学们在学习后，一定会对平行线的作用有所了解，但是对它在比例式中的桥梁作用还有待探究，下面我们谈一下平行线在比值转化中的强大功能：

例1 如图，在△ABC中，D，E分别在AB，BC上，且 = 1， = ，AE，CD交于点G，求的值.

分析 本题条件中的“比值，”与结论中的“比值”无直接的联系，于是我们可利用课本中的这个推论，作平行线架起二者之间的桥梁解决问题.

解法（一） 过E作EM∥AB交CD于M，在△CBD中，∵EM∥BD，∴ = . ∵ = 1，∴ AD = BD，即 = .又∵ = ，∴ = .因此， = .在△ADG中，∵ EM∥AD，∴ = . ∴ = .可知 = .

反思1 由于本题中的两“比值”之间无直接联系，因此决定了所作平行线：EN∥AB，至少应使用两次，才能通过平行线的桥梁作用把“比值”连接起来.

解法（二） 过E作EN∥CD交AB于N，在△BCD中，EN∥CD，∴ = . ∵ = ，∴ = ，

可知 = ，即 = . ∵ = 1，∴ AD = BD，可得： = . 在△ANE中，

DG∥EN，∴ = .

∴ = ，即 = .

反思2：平行线的桥梁作用体现在由已知比值延伸到所求比值的过程，为使这一过程简单化，所作的平行线应能把已知的某个比值直接转化，顺利找到桥梁的支撑点. 在上述的解法（一）（二）中，我们都过E点作平行线，考虑的是首先把 = 直接转化成 = 或者 = .当然，本题也可以过D点作平行线，首先把 = 1直接转化，如图（1）（2），相信同学们可以独立完成.

例2 如图，在△ABC中，AD是∠A的平分线，求证： = .

解：过D作DE∥AC交AB于E点，在△ABC中，利用DE∥BC可得 = . ∵DE∥AC，∴∠CAD = ∠EDA. 由于AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD = ∠CAD，即∠BAD = ∠EDA. 所以EA = ED. 可见， = . 又因为DE∥AC，所以 = ，可得 = .

反思3 本题结论“ = ”中的两个比值相对孤立，我们做题时应想方设法把二者联系起来，为此所作的辅助线“DE∥AC”真正的像一座桥梁，利用已有的条件让与 顺利牵手，题中平行线的桥梁作用体现得淋漓尽致.

由于平行线的桥梁作用适用范围广泛，因此做题方法绝不止一种，下面请同学们根据图（3）（4）（5）中所作的辅助线（平行线）独立完成.

平行线在比例式中的的桥梁作用小结：

1. 题中出现的若干比值（比例式）相对孤立，条件中无平行线（相似三角形），或者有平行线（相似三角形）时，但通过性质得出的比例式对于解题没有太大的帮助，才有作平行线来架起桥梁的必要.

2. 从题目中的某个比值入手，使所作的平行线能直接把该比值转化，找到桥梁的“支撑点”.

3. 由于相关比值之间无直接联系，因此所作平行线必须至少用两次，分别连接不同的比值和“支撑点”.