数学解题中的巧妙变形

李红霞

变形是数学解题活动中最基本而又常用的方法。那什么是数学变形？这是一个很模糊的概念，总之就是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段。它属于技能性的知识，既灵活又多变；一个公式，一个法则，它的表述形式是多种多样的。当然它也存在着技巧和方法，也就是人们在学习数学的实践中反复操练才能把握，乃至灵活应用的。在数学解题中，为了完成论证、求值、化简等任务，常要对某些式子进行恒等变形，但是恒等变形又没有规定的法则与方法，一个式子往往有多种可能的变形方向，因题而异，技巧性非常强。本文主要介绍变形技巧在高中数学中的一些应用。掌握好并灵活应用这些技巧，可以很快确定解题方向，减少解题的盲目性，提高解题效率。

变形举例

“0”的变形技巧 恩格斯在《自然辨证法》一书中指出：“零不只是一个非常确定的数，而且它本身比其他一切被要所限定的数都更重要，事实上，零比其他一切数都有更丰富的内容……零乘以任何一个数，都使这个数变为零，零除以任何一个不等于零的数，都等于零……”由于零具备许多特殊的性质，因此，在解题活动中若能对这些特性加以注意，对于解题的顺利进行是大有帮助的，下面举例几个“0”的特性在解题中的应用。例一：若a>b>c，求证.

分析：通过观察可发现a-c可以变形为a-b+b-b，即式子a-c加了0（-b+b=0），则再利用不等式的性质可方便解决这道题。“0”在这道题目中作为一座桥梁，通过这座桥梁，使我们的问题就变得很简单。另外，在指数、对数中，解关于含有指数与对数的不等式，一定要化成同底的指数与对数。特别是在对数中，对于“0”就可以灵活处理，可以根据需要把“0”化成所需要的对数。

“1”的变形技巧 对于“1”的变型，在三角函数中，使用的最为广泛。例二：已知tanα=2，求2sin2α-3sinαcosα-2cos2α的值。这道题的常规解法是把正切转化成正弦与余弦的比值等于2，且正余弦的平方和等于1，联立方程组，分别解出α的正余弦值，再代入所求的式子里面，得出所求式子的值，其中还会用到分类讨论的思想，所以解题的过程就十分麻烦，且比较浪费时间。但如果应用“1”的代换，解题过程就相当的简单。其解题过程如下：

∴当即时，函数单调递增；当即时，函数单调递减。像这道题，把这样一个比较复杂的式子，经过了变形，化简成了一个简单的正弦型的函数，最终通过了正弦函数的性质，得到了相应的结果。所以，像这样的变形，可以把不熟悉的问题，通过变形转化成熟悉的问题，进而达到解题的效果。

数列中的变形 同樣，在数列的解题过程中也用到了变形这一技巧。例四，已知数列，求的值。解：把原式变形得两边同除以得∴是首项为-1，d=-1的等差数列故∴。这道题，也是应用了变形的技巧。先把已知条件化成了数列的问题，而通过数列的通项公式这座桥，解出了。

结束语

数学中变形的方法与技巧远远不止以上这些，而上述几种只不过是许多变形技巧中的几个小分支。变形技巧是数学解题的一种方法，变形能力的强弱直接制约着解题能力的高低。在此强调，变形属于技能性的知识，需要在实践中反复操练才能把握，直至灵活与综合应用。由于高中数学的改革及社会发展的需求，以及提高学生应试能力和解决实际问题的能力，数学变形技巧作为一种解题的手段越来越被人们所喜爱，但是它并无一定之规，所以这就需要在平时的学习中加以运用和积累。如果熟练掌握了基本的变形技巧，这会使解题过程得心应手，提高学生对数学的兴趣和增强对数学学习的信心。

（作者单位：内蒙古自治区阿拉善盟第一中学）