0不能作除数的扩展推论

陈德贤

【摘要】 0作因数、被除数在数学教材和数学资料中沿用历史悠久，但在实际算理中确实自相矛盾，且无实在意义. 所以，0在乘除法算式中应该有一个全面的、准确的定性，那就是0既不能作除数，也不能作因数，更不能作被除数.

【关键词】 0不能作除数；也不能作因数 ；更不能作被除数

引 言

在人教版小学《数学》四年级下册第6页中写到“注意：0不能作除数”. 例如，5 ÷ 0不可能得到商，因为找不到一个数同0相乘得到5. 0 ÷ 0不可能得到一个确定的商，因为任何数同0相乘都得0.这无疑是千真万确的，但在乘法算式中的因数为0、除法算式中的被除数为0也有类似情况. 由此推论如下.

一、0不能作因数

在人教版小学《数学》三年级上册第66页有这样的例题：0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0（个），0 × 7 = 0（个），7 × 0 = 0（个）. 接着就是想一想：0 × 3 = □，9 × 0 = □ ，0 × 0 = □. 结论是“0和任何数相乘都得0”.在“做一做”和“练习”题中都有0与其他数相乘的类似题. 现以0 × 8 = 0为例进行分析，0与8相乘无疑得0.根据“因数 = 积 ÷ 另一个因数”进行检验就产生可疑，积（0）除以因数（8）等于因数（0），即0 ÷ 8 = 0.但积（0）除以因数（0）不等于因数（8），即0 ÷ 0 ≠ 8.我找了几位同行商讨这种原因，他们都说明文规定0不能作除数. 试想：“0不能作除数”，是说在列算式时不能有0作除数的算式.但从0 × 8 = 0中根据乘法各部分间的关系应该有0 ÷ 0 = 8的等式，可0 ÷ 0 ≠ 8，这不是强行要把0作除数，故意违背“0不能作除数”的基本性质，但0不能作除数就与“因数 = 积 ÷ 另一个因数”相冲突，在这冲突的情况下0作除数，0 ÷ 0还是不等于8. 那因数8怎样才能得到呢？不得而知. 造成这种结果的原因，是0作因数的缘由. 由此0作除数无意义，0作因数也无实在意义. 例题0 × 7 = 0（个），7 × 0 = 0（个），表示 7个0相加，相加的结果仍然得0又有什么意义，就是1千个0、1万个0相加还是得0并无意义. 所以，0不但不能作除数，0也不能作因数.

“0和任何数相乘都得0” 应该是在特定运算中适用，如604 × 8或640 × 80类算式才适应“0和任何数相乘都得0”的性质 . 不能在乘法算式中把0单独作因数.

二、0不能作被除数

在人教版小学《数学》四年级下册第6页中写到“0除以一个非0的数，还得0”.此后在第8页的练习中就有“0 ÷ 36 =0 ÷ 9 =”的算式. 历届教材在安排四则运算时都有类似的习题和考题出现. 因为“0除以一个非0的数，还得0”是有关0的一条基本性质非掌握不可. 但根据除法各部分间的关系“除数 = 被除数 ÷ 商”进行检验又产生了可疑. 现以0 ÷ 36为例进行分析. 0 ÷ 36 = 0肯定无疑，根据“被除数 = 商 × 除数”即0 = 0 × 36，等式成立，但根据“除数=被除数÷商”，即36 = 0 ÷ 0，从而又出现了0作除数的算式，但这又不是人为要把0作除数，而是从算理上讲理应把0作除数，即是从算理上把0作除数，可0 ÷ 0 ≠ 36.那么，36 从哪里寻求答案，也不得而知. 导致此种情况的原因又何在呢？原因是把0作了被除数. 这说明0作被除数也无实在意义. 所以，0不但不能作除数，也不能作被除数.

三、0不能作因数（被除数）的意义

1. 只有0不作因数（被除数）的前提，才能有0不作除数的满意结果. 否则，像以上两例“0 × 8 = 0，0 ÷ 36 = 0”中根据乘（除法）各部分的关系进行检验，自然出现了0作除数的算式，并且还没有正确的结果. 数学的算理应该是已知前提，推理运算，所得结论都要求清楚准确. 取消0作因数（被除数）就解决了0自然为除数前后自相矛盾的状况.

2. 0不作因数（被除数）会解除很多麻烦. 在人教版小学《数学》五年级下册第5页中写到“注意：为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是自然数（一般不包括0）”. 又在第9页中写到“整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫作奇数”. 一是在研究因数和倍数时如果不排除0，0就会为非0数的倍数，这样 0就自然成了除数. 况且0作非0数的倍数的确无实在意义. 二是0可不列为偶数，因为0既是奇数的倍数，也是偶数的倍数；再则0是偶数就会有“0 ÷ 2 = 0”的算式，也就随之有0作除数的算式产生.

结 语

0作因数（被除数）确实在算理中不能自圆其说，要解决此种矛盾，那就是0既不能作除数，也不能作因数，更不能作被除数. 因为0作一因数积为0，造成另一因数无准确答案. 被除数为0商就为0，也造成除数无准确答案. 这两种情况都无实在意义，无实在意义的界定完全有必要废除.

【参考文献】

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[5] 裴云姣.北师大版一、二年级新教材关注点——以“美丽的田园”及“重复的奥妙”为例[J]. 教学月刊小学版（数学），2014（5）.